Интегрирование тригонометрических выражений

[Genuster]

Наткнулся на способ интегрирования тригонометрических выражений и никак не могу понять, как выводится данная формула, где числитель в интеграле

$$\int\limits_{}^{}\frac{a_1\sin(x)+b_1\cos(x)}{a\sin(x)+b\cos(x)}dx$$

раскладывается, как

$$a_1\sin(x)+b_1\cos(x)=A(a\sin(x)+b\cos(x))+B(a\sin(x)+b\cos(x))'$$

Подскажите, пожалуйста.

[Ms-dos4]

Genuster
Вы про $\[{a_1}\sin x + {b_1}\cos x = \frac{{a{a_1} + b{b_1}}}{{{a^2} + {b^2}}}(a\sin x + b\cos x) + \frac{{a{b_1} - b{a_1}}}{{{a^2} + {b^2}}}\frac{d}{{dx}}(a\sin x + b\cos x)\]$?
Та там всё написано, просто собираете коэффициенты при косинусах и синусах справа и приравниваете соотв. слева.
P.S.Оформите тему по правилам, а то снесут в карантин.

[Genuster]

Ms-dos4
Я понял, как раскладывать этим методом, мне не ясно откуда взялось это равенство.

[ewert]

Genuster в сообщении #1199118 писал(а):

никак не могу понять, как выводится данная формула

Она не выводится, она вводится. Из-за того, что первая и вторая скобки между собой линейно независимы, через них можно выразить любую комбинацию синусов и косинусов. А как эту идею реализовать технически -- Ms-dos4 казал

[Genuster]

ewert,
Смущает производная, в методе неопределенных коэффициентов все довольно прозрачно, а тут..
Как доказать это равенство?

[arseniiv]

Продифференцировать вторую скобку и после этого уже неопределёнными коэффициентами.

[ewert]

Genuster в сообщении #1199133 писал(а):

Как доказать это равенство?

Его невозможно доказать, поскольку это -- условие на неопределённые коэффициенты. Доказать же условие невозможно в принципе. Можно лишь доказать корректность условия, т.е. что коэффициенты им определяются однозначно. Так я и объяснил, почему.

[Genuster]

ewert
Хорошо, а как вы тогда определили линейную независимость первой и второй скобок?

[Brukvalub]

Genuster в сообщении #1199141 писал(а):

Хорошо, а как вы тогда определили линейную независимость первой и второй скобок?

Расположите эти скобки и их производные как строки матрицы и найдите ее определитель.Наверное, вы еще не знаете Вронскиан. Тогда доказывайте линейную независимость просто по определению.

[Genuster]

Brukvalub
Хорошо, спасибо, это я понял.
Но все никак не могу понять, почему все именно в таком виде, почему, например, у второй скобки первая производная, а не пятая, или, например, не логарифм?
В методе неопределенных коэффициентов мы все приводим к общему знаменателю сначала, потом сокращаем знаменатель, а тут как выглядит этот процесс?

[Brukvalub]

Первая производная нужна для ее занесения под дифференциал.

[Genuster]

Как тяжело-то
Вполне ясно, для чего она, не ясно, как получили это?

[arseniiv]

Оба слагаемых при делении на знаменатель дают легко интегрируемые выражения — константу и константу на производную логарифма. Можно, в принципе, небольшим перебором подобных простых кандидатов увидеть, что эти два слагаемых можно получить и на этом закончить (три подобных слагаемых будут уже обязательно линейно зависимыми).

[warlock66613]

Genuster в сообщении #1199162 писал(а):

не ясно, как получили это

Сначала научились находить интегралы вида $\int f(\cos x) \sin x dx$, $\int f(\sin x) \cos x dx$ (например: $\int \frac {\cos x dx} {\sin x}= \int \frac {d(\sin x)} {\sin x}=\ln |\sin x|+C.$) Потом посмотрели на интересующий вас интеграл и подумали: а нельзя ли применить к нему такую же технику?

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1199148 писал(а):

Наверное, вы еще не знаете Вронскиан.

И не нужно.

Brukvalub в сообщении #1199148 писал(а):

Тогда доказывайте линейную независимость просто по определению.

И не нужно. Их всего две, и их непропорциональность очевидна.

Genuster в сообщении #1199162 писал(а):

не ясно, как получили это?

Просто подметили, что любая комбинация и её производная линейно независимы. Это же бросается в глаза.