2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 16:57 
Наткнулся на способ интегрирования тригонометрических выражений и никак не могу понять, как выводится данная формула, где числитель в интеграле
$$\int\limits_{}^{}\frac{a_1\sin(x)+b_1\cos(x)}{a\sin(x)+b\cos(x)}dx$$
раскладывается, как
$$a_1\sin(x)+b_1\cos(x)=A(a\sin(x)+b\cos(x))+B(a\sin(x)+b\cos(x))'$$
Подскажите, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 17:03 
Genuster
Вы про $\[{a_1}\sin x + {b_1}\cos x = \frac{{a{a_1} + b{b_1}}}{{{a^2} + {b^2}}}(a\sin x + b\cos x) + \frac{{a{b_1} - b{a_1}}}{{{a^2} + {b^2}}}\frac{d}{{dx}}(a\sin x + b\cos x)\]$?
Та там всё написано, просто собираете коэффициенты при косинусах и синусах справа и приравниваете соотв. слева.
P.S.Оформите тему по правилам, а то снесут в карантин.

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 17:18 
Ms-dos4
Я понял, как раскладывать этим методом, мне не ясно откуда взялось это равенство.

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 17:20 
Genuster в сообщении #1199118 писал(а):
никак не могу понять, как выводится данная формула

Она не выводится, она вводится. Из-за того, что первая и вторая скобки между собой линейно независимы, через них можно выразить любую комбинацию синусов и косинусов. А как эту идею реализовать технически -- Ms-dos4 казал

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 17:30 
ewert,
Смущает производная, в методе неопределенных коэффициентов все довольно прозрачно, а тут..
Как доказать это равенство?

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 17:32 
Продифференцировать вторую скобку и после этого уже неопределёнными коэффициентами.

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 17:39 
Genuster в сообщении #1199133 писал(а):
Как доказать это равенство?

Его невозможно доказать, поскольку это -- условие на неопределённые коэффициенты. Доказать же условие невозможно в принципе. Можно лишь доказать корректность условия, т.е. что коэффициенты им определяются однозначно. Так я и объяснил, почему.

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 17:47 
ewert
Хорошо, а как вы тогда определили линейную независимость первой и второй скобок? :roll:

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 18:06 
Аватара пользователя
Genuster в сообщении #1199141 писал(а):
Хорошо, а как вы тогда определили линейную независимость первой и второй скобок?

Расположите эти скобки и их производные как строки матрицы и найдите ее определитель.Наверное, вы еще не знаете Вронскиан. Тогда доказывайте линейную независимость просто по определению.

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 18:18 
Brukvalub
Хорошо, спасибо, это я понял.
Но все никак не могу понять, почему все именно в таком виде, почему, например, у второй скобки первая производная, а не пятая, или, например, не логарифм?
В методе неопределенных коэффициентов мы все приводим к общему знаменателю сначала, потом сокращаем знаменатель, а тут как выглядит этот процесс?

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 18:20 
Аватара пользователя
Первая производная нужна для ее занесения под дифференциал.

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 18:24 
Как тяжело-то :D
Вполне ясно, для чего она, не ясно, как получили это?

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 18:30 
Оба слагаемых при делении на знаменатель дают легко интегрируемые выражения — константу и константу на производную логарифма. Можно, в принципе, небольшим перебором подобных простых кандидатов увидеть, что эти два слагаемых можно получить и на этом закончить (три подобных слагаемых будут уже обязательно линейно зависимыми).

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 18:35 
Genuster в сообщении #1199162 писал(а):
не ясно, как получили это
Сначала научились находить интегралы вида $\int f(\cos x) \sin x dx$, $\int f(\sin x) \cos x dx$ (например: $\int \frac {\cos x dx} {\sin x}= \int \frac {d(\sin x)} {\sin x}=\ln |\sin x|+C.$) Потом посмотрели на интересующий вас интеграл и подумали: а нельзя ли применить к нему такую же технику?

 
 
 
 Re: Интегрирование тригонометрических выражений
Сообщение11.03.2017, 19:26 
Brukvalub в сообщении #1199148 писал(а):
Наверное, вы еще не знаете Вронскиан.

И не нужно.

Brukvalub в сообщении #1199148 писал(а):
Тогда доказывайте линейную независимость просто по определению.

И не нужно. Их всего две, и их непропорциональность очевидна.

Genuster в сообщении #1199162 писал(а):
не ясно, как получили это?

Просто подметили, что любая комбинация и её производная линейно независимы. Это же бросается в глаза.

 
 
 [ Сообщений: 31 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group