Остатки при делении равны

[Padawan]

Даны натуральные числа $m$ и $n$, $m>n$. Известно, что $m$ не делится на $n$, и остаток от деления $m$ на $n$ равен остатку от деления $m+n$ на $m-n$. Найти $\dfrac m n$.

[Sonic86]

А где попытки решения?
У меня все получилось путем прямой формализации, упрощения и применением одного простого соотношения. Все решения получились в виде $m=at, n=bt$. Хотя, честно признаться, я немного тупил и юзал комп Но все равно

[Padawan]

Достаточно предположить, что $m$, $n$ взаимно просты, так как при их домножении на константу все упомянутые остатки тоже домножаются на ту же константу. Равенства $m=ns+d$, $m+n=(m-n)l+d$ дали $n(1+s+l)=ml$. Отсюда подбором небольших значений $s$ и $l$ нашел решение $m=5, n=2$. Доказать единственность не получается.

[Sonic86]

Padawan в сообщении #1195639 писал(а):

$m=ns+d$, $m+n=(m-n)l+d$

Я сделал так: я сначала избавился от тех букв, от которых можно было избавится, т.е. от тех, на которых не было ограничений - от $s,l$ - у меня получились 2 соотношения делимости. А потом такой финт: делимости перемножаем, упрощаем, получаем делимость вида $\text{неслабо растущая функция} | \text{вялорастущая функция}$ ($a|b$ означает "$a$ делит $b$"). Понятно, что она выполняется для конечного числа значений переменных, потому мы заменяем это ограничение на более слабое $\text{неслабо растущая функция} \leqslant \text{вялорастущая функция}$, и решаем его. Все
(для упрощений соотношений можно сделать подстановку $m-n=k$, но можно и без нее)
(ха, а я тоже немножко не дорешал пойду дорешаю...)

[adfg]

Padawan
Напишу Ваше соотношение в своих обозначениях. Производя последовательное вычитание $m-n$ из $m+n$ получаем формулу для остатка:
$d=(k+2)n-km$
Подставляя этот остаток во вторую дробь получаем:
$(l+k+2)n=(k+1)m$ при натуральных $l$ и $k$.
Это соотношение с точностью до обозначения переменных совпадает с Вашим. Из взаимной простоты из него в частности следует:
$(k+1)\vdots n$, то есть $n=(k+1)/s$ при натуральном $s$.
Подставляя это в первую формулу и приводя подобные, в итоге получаем:
$(ds-2)\vdots k$
При этом $d<n$, а значит $ds-2<k-1$. Мы видим что меньшее число должно делиться на большее. Это возможно лишь в 2 случаях - либо $k=1$, либо $ds=2$. Первый случай Вами разобран, и ответ в нем получен. Второй разбивается на 2 элементарных подслучая, в обоих $n$ и $m$ выражаются через $k$, и доказывается невозможность, у меня в частности получилось что $m+n$ делится на $m-n$ нацело в обоих случаях. Надеюсь, нигде не ошибся

[Sonic86]

Я решил: задача оказалась совсем простой, даже никаких финтов нет:
$k:=m-n$, задача принимает вид:
$n|k+n-r$
$k|k+2n-r$
$0<r<k,n$
упрощаем делимости
из одной делимости выражаем одну переменную и подставляем в другую:
$k=nt+r$:
$nt+r|2n-r$
отсюда легко находится единственное $t$, делимость еще упрощается, замечаем, что $k,n,r$ можно считать попарно взаимно простыми и все - сразу находятся $n,r,k$ с вышеописанными значениями.