2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопросы о ренормгруппе
Сообщение23.01.2017, 14:31 


27/04/13
14
Здравствуйте, у меня возникло несколько общих вопросов по перенормировке функций Грина (работаю в физике конденсированного состояния). С перенормировкой сталкиваюсь впервые в работе (не считая учебных курсов в магистратуре, я аспирант).
Для полноты изложения начну немного со стороны.
Исходно у меня есть "голый" двухточечный коррелятор вида

$G_0(r)=\frac{1}{r}$


Где $r=\sqrt{x^2+V^2t^2}$, $V$-некая скорость.

Затем я хочу перенормировать мою теорию не по схеме Вильсона, а меняя cutoff в реальном пространстве (естественный cutoff у меня связан с постоянной решетки, я его назову $r_0$). Я могу написать также уравнение Каллана-Симанчика в виде:

$[\partial/\partial(\log r) +\beta(\lambda)\partial/\partial(\lambda)+2\gamma(\lambda)]G(r,\lambda)=0 $


Где моя Бета-функция и аномальная размерность имеют вид ($\lambda>0$-константа связи):

$\beta(\lambda)=-\lambda^2 \par
\gamma(\lambda)=\frac{1}{2}-\lambda
$

Имеем здесь асимптотическую свободу:
$ \lambda(r) =\frac{\lambda_0}{1+\lambda_0\log(r/r_0)}$

Общее решение для уравнения Каллана-Симанчика для нашего случая можно записать в виде (пропущу один шаг выкладок)
$ G(r)=\frac{1}{r}\sqrt{\frac{\lambda_0}{\lambda(r)}} \sum_m F_m(r)\lambda^m(r)$

Функции $F_m(r)$ здесь могут быть найдены прямым расчетом коррелятора по теории возмущений. Скажем, в нулевом $F_0=1$ (ежели никакого потока нет мы должны восстанавливать свободную теорию в нулевом порядке). Далее, если мы имеем конформную теорию поля на кольце по $x$-координате, то мы знаем, что в нулевом порядке (сворачивая плоскость в цилиндр):
$G(r)=\frac{\pi}{L\sin(\pi r/L)}$

Соответственно теперь
$F_0 \sim \frac{\pi r/L}{\sin(\pi r/L)}$

Мне казалось я это понимаю, пока не надо было обобщать. Возникают следующие вопросы:

1) Я вспоминаю, что коррелятор есть функция двух переменных. Координаты $x$ и времени $t$. То есть вообще говоря голый пропагатор у меня необязательно "изотропный", моя теория тоже на кольце, и там уже затравочная ФГ имеет вид типа $\frac{1}{\sin(x+Vt) \sin(x-Vt)}$. Как тогда будет выглядеть RG-step? Мне нужно варьировать по отдельности координату и время при перенормировке? Как тогда перепишется уравнение Каллана-Симанчика? Нужно ли там сохранять логарифмическую производную по $r$ или же писать нечто вроде $\partial/\partial(\log x)+\partial/\partial(\log Vt)$
Иными словами, я не понимаю как мне определять "малый масштаб" в теории. Это малые времена, малые координаты, или же малые $r$?
В целом мне казалось, что неважно как перенормировать теорию вообще... Результат должен быть тот же, но я не понимаю как это показать, пользуясь уравнением Каллана-Симанчика.
2) Вообще мне интересен случай систем конечного размера, когда исходные поля удовлетворяют периодическим граничным условиям (когда я их на цилиндр укладываю, как было выше написано), а еще лучше если открытым (поля зануляются на границе). В любом случае появляется масштаб $L$-длина системы. Тогда, по идее, я и его могу перенормировать? В чем будет вообще смысл такой перенормировки длины? В статьях люди держат $r/L$ фиксированным в РГ процедуре, как я понимаю, для удобства?
Или, задам вопрос по-наивному. Каких изменений в РГ-поправках к функции Грина я могу ожидать для системы с периодическими условиями по сравнению с системами с открытыми граничными условиями? Останется ли Бета-функция той же? Просто такое чувство (извините уж за выражение :D ) что префактор $\frac{1}{r}\sqrt{\frac{\lambda_0}{\lambda(r)}} $, что буквально вычисляется через Бета-Функцию и аномальную размерность универсальный в смысле независимости его от граничных условий, которые мы накладываем на поля.

Думаю, это не все вопросы, но начну с них. Спасибо!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, profrotter, Jnrty, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group