Замкнутые кривые и механическое движение

[Shtorm]

Многие плоские кривые можно получить - как траекторию движущейся материальной точки под действием сил, которые описываются известными физическими законами. Известны такие замечательные плоские кривые как эпициклоиды и гипоциклоиды. Это плоские замкнутые кривые, которые получаются как траектория точки, лежащей на окружности, которая катится по другой окружности. Эти кривые являются частным случаем кривых, которые называются эпитрохоиды и гипотрохоиды, которые тоже получаются при качении одной окружности по другой. У меня возникла такая мысль:
Пусть имеется механическая система, все части которой совершают непрерывное движение в ограниченной части пространства $\mathbb{R}^2$ (относительно выбранной системы отсчёта). Пусть все эти движения описываются непрерывными элементарными однозначными вещественнозначными функциями $\xi = f(t)$, где $\xi$ - либо радиус-вектор, либо текущие координаты, либо угол отклонения, а $t$ - параметр, в качестве которого выступает как правило время, но может и что-то другое быть. Тогда, взяв любую точку данной системы, траектория движения которой описывает замкнутую кривую, мы всегда можем задать эту кривую системой двух параметрических уравнений:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x=\varphi(t), \\ y=\psi(t). \\ \end{array} \right.$$

где $x,y$ -текущие координаты точки в данной системе координат, $\varphi(t),\psi(t)$ - непрерывные элементарные однозначные вещественнозначные функции от вещественного аргумента $t$. Этот параметр задан на каком-то интервале.

Вопрос к участникам форума - верна ли эта мысль?

Сразу оговорюсь для чего я наложил требование "элементарности и однозначности функций ". Я вдруг представил, что по одной окружности катится другая окружность и внутри катящейся окружности находится математический маятник, который совершает колебания, отклоняясь на угол 60 градусов. Если попробовать описать траекторию движения центра грузика маятника, то придётся применять эллиптическую функцию Якоби (синус Якоби), а потом ещё как-то накладывать на неё движение одной окружности, да ещё относительно другой. Поскольку синус Якоби не выражается в элементарных функциях, то получить более менее нормальное выражение вряд ли получится или я не прав? Ну и вообще, механическое движение может быть довольно сложным, для описания функциями. Поэтому я и ограничился хорошо известными элементарными функциями.

Возможно, что где-то это уже всё написано и рассмотрено, тогда прошу направить меня туда.

Моё мнение, что моя мысль верна, поскольку раз мы знаем вышеописанные функции, которые задают движение, то исходя даже из соображения сложения скоростей - мы получим систему из двух параметрических уравнений, которые задают траекторию движения точки.

[wrest]

Shtorm в сообщении #1186025 писал(а):

Пусть все эти движения описываются непрерывными элементарными однозначными вещественнозначными функциями $\xi = f(t)$, где $\xi$ - либо радиус-вектор

Тогда у вас уже $\xi = f(t)$ задана параметрически, как я понимаю.

[Shtorm]

wrest, ну предположим, что так и есть, все законы движения внутри механической системы заданы как функции от времени - от параметра $t$. Тогда всё нормально, моя мысль верна?

[wrest]

Shtorm в сообщении #1186128 писал(а):

Тогда всё нормально, моя мысль верна?

Не знаю, поскольку я не понял, в чем ваша мысль. Для меня это выглядит как "если кривая задана параметрически, то её можно задать параметрически".

Shtorm в сообщении #1186128 писал(а):

все законы движения внутри механической системы заданы как функции от времени - от параметра $t$.

Надо уточнить -- что значит "все законы движения системы заданы". Приведите хоть пример какой-нибудь, что ли.

[Shtorm]

wrest в сообщении #1186141 писал(а):

Не знаю, поскольку я не понял, в чем ваша мысль. Для меня это выглядит как "если кривая задана параметрически, то её можно задать параметрически".

Если одна часть системы совершает движение относительно другой, а та другая совершает движение относительно третьей, то всё ли здесь прозрачно с точки зрения наложения уравнений друг на друга и написания окончательного уравнения движения материальной точки? Вот в этом я сомневался. Мне казалось, что могут вылезти какие-то подводные камни.

wrest в сообщении #1186141 писал(а):

Надо уточнить -- что значит "все законы движения системы заданы". Приведите хоть пример какой-нибудь, что ли.

Пусть центр стержня совмещён с началом выбранной декартовой прямоугольной системы координат. Стержень имеет фиксированную длину, равную $2A$. Этот стержень вращается с постоянной угловой скоростью $\omega_1$ относительно своего центра против часовой стрелки. Таким образом говорим, что задали закон движения стержня. Всё правильно, возражений нет?
По стержню двигается плавающая точка. Она начинает движение из начала координат и двигается по стержню по синусоидальному закону:

$$x(t)=A\sin(\omega_2 t +\varphi_0) \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

где $x$ - координата точки на стержне или смещение точки вдоль стержня, в момент времени $t$. $A$ - амплитуда колебаний - равна половине длины стержня, $\omega_2$ - циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний, происходящих в течении $2\pi$ секунд, $\varphi_0$ - начальная фаза равна нулю, поскольку движение точки начинается из начала координат. Таким образом точка колеблется вдоль стержня по синусоидальному закону, совершая за $2\pi$ секунд $\omega_2$ колебаний.
Таким образом задали закон движения второй части системы. Возражений нет?

Теперь необходимо совместить эти два движения. Пусть частота колебаний точки больше частоты вращения стержня в $k$ раз. Значит можно написать:

$$\omega_2 = k\cdot \omega_1 \ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

Введём теперь полярную систему координат, совместив её начало с началом декартовой системы и направив полярную ось по положительному направлению оси $OX$. Поскольку стержень вращается, а по нему движется точка, то теперь удобно описывать смещение точки относительно центра стержня с помощью полярного радиуса $\rho$. Подставляя в формулу (1) $\varphi_0 = 0$, формулу (2) и заменяя $x(t)$ на $\rho$ получаем:

$$\rho\,=\,A\,\sin(k\omega_1 t) \ \ \ \ \ \ \ (3)$$

Теперь уравнение (3) преобразуем так, чтобы оно полностью стало полярным уравнением кривой. Для этого нужно, чтобы в правой части уравнения появился полярный угол $\varphi$ и пропало время $t$. По определению, угловая частота или угловая скорость равна производной от угла по времени, но поскольку в нашем случае угловая частота константа, то можно просто написать отношение угла ко времени:

$$\omega_1=\frac{d\varphi}{dt}=\frac{\varphi}{t}\ \ \ \ \ \ \ (4)$$

Подставляем формулу (4) в формулу (3) и получаем полярное уравнение кривой:

$$\rho(\varphi) = A\sin(k \varphi)\ \ \ \ \ \ \ (5)$$

Теперь полученное полярное уравнение параметризуем, переходя к декартовой системе, по формулам

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x=\rho\cos(\varphi) \\ y= \rho\sin(\varphi)\\ \end{array} \right.$$

Подставляем сюда уравнение (5) и получаем:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x=A\sin(k \varphi)\cos(\varphi) \\ y=A\sin(k \varphi)\sin(\varphi)\\ \end{array} \right.$$

Заменим в последней системе $\varphi$ на привычное $t$ и окончательно получим:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t)=A\sin(kt)\cos(t) \\ y(t)=A\sin(kt)\sin(t)\\ \end{array} \right.$$

где параметр $t$ имеет смысл не времени, а именно угла поворота.
При $k=3$ получаем 3-лепестковую полярную розу см. анимацию ниже:


Конечно, неплохо бы было сразу получить параметрические уравнения, не прибегая к промежуточной полярной системе координат, но у меня просто была уже такая заготовка.

[arseniiv]

А попробуйте теперь описать в общем случае, какие функции могут быть и как и куда их значения подставляться.

-- Пт янв 20, 2017 22:05:24 --

Возможно, тут уместно говорить что-то в терминах (псевдо)орграфа зависимостей: пусть величины $A_1,\ldots$ мы хотим вычислять по выражениям, включающим эти же величины в каких-то комбинациях; тогда скажем, что величина зависит от тех величин, которые входят в выражение для неё. Образуем псевдоорграф с вершинами-величинами и дугами от величин к тем, от которых они зависят. Если в графе нет циклов (включая циклы из дуги, ведущей из вершины в неё же), и все пути из интересующей величины заканчиваются в вершине $t$, то её можно вычислить с помощью одного большого выражения от $t$. Если нет, то возможно, что существуют какие-то другие выражения величин через друг друга, что такое будет возможно, но это значит, что понадобятся преобразования.

[Shtorm]

Shtorm в сообщении #1186128 писал(а):

wrest, ну предположим, что так и есть, все законы движения внутри механической системы заданы как функции от времени - от параметра $t$. Тогда всё нормально, моя мысль верна?

arseniiv в сообщении #1186204 писал(а):

А попробуйте теперь описать в общем случае, какие функции могут быть и как и куда их значения подставляться.

Всё же, видимо, говорить о том, что в механической системе все движущиеся части заданы как функции от времени - это слишком узко и не продуктивно. Надо как-то обобщить. Ну, вот например, пусть по окружности бОльшего радиуса катится без скольжения окружность меньшего радиуса. Тогда центр катящейся окружности опишет кривую - окружность, радиус которой равен сумме радиусов исходных двух окружностей. И совершенно не важно, с какой скоростью будет катиться вторая окружность - эта скорость может меняться по самому причудливому закону или даже вообще меняться хаотическими рывками - всё равно мы получим ту же самую итоговую окружность. И так будет происходить со всеми эпитрохоидами и гипотрохоидами. В этом случае кривая будет зависеть от радиусов исходных окружностей, расположения окружностей друг относительно друга и расположения точки.

arseniiv в сообщении #1186204 писал(а):

Возможно, тут уместно говорить что-то в терминах (псевдо)орграфа зависимостей:...

Не готов пока говорить о графах. Надо будет почитать, поготовиться. А пока без графов никак нельзя обойтись? Если например просто подставлять одно уравнение в другое, а то в третье и так далее?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Междисциплинарный раздел» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: не вижу ничего междисциплинарного

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #1186378 писал(а):

И совершенно не важно, с какой скоростью будет катиться вторая окружность - эта скорость может меняться по самому причудливому закону или даже вообще меняться хаотическими рывками - всё равно мы получим ту же самую итоговую окружность. И так будет происходить со всеми эпитрохоидами и гипотрохоидами. В этом случае кривая будет зависеть от радиусов исходных окружностей, расположения окружностей друг относительно друга и расположения точки.

Открыли Америку. Конечно, если кривая задаётся параметрически функцией $f$ (не будем говорить об ограничениях на неё), это значит, что кривая есть $\{ f(t) : t\in A \}$, где $A$ заранее известно, то ясно, что если $g\colon B\to A$ — сюръекция, $f\circ g$ задаёт то же множество, а в общем случае даже некоторые несюръективные $g$ могут подойти (если $f$ не инъекция).

Но тут дело не в этом, а в том, что задача (по-моему) не поставлена. Вот вы рассмотрели одну частную, а как выглядит общая? Что с ней неясно, что очевидно?

[Shtorm]

Deggial в сообщении #1186404 писал(а):

..... не вижу ничего междисциплинарного

Мне следует наверное объясниться: Я полагал, что использую две дисциплины: математику и физику. А из физики - конкретно раздел Механика. Всё же гармонические колебания, частота колебаний, циклическая частота, амплитуда колебаний это всё понятия из физики, а не из математики. Движение материальной точки тоже относится к физике. Ну, в принципе, на мехмате же преподаётся и математика, и механика. Так что, можно обобщить это на математику.

arseniiv в сообщении #1186406 писал(а):

Shtorm в сообщении #1186378 писал(а):

И совершенно не важно, с какой скоростью будет катиться вторая окружность .....

Открыли Америку. .....

Ну, тут следует сказать и о том, что в вышеприведённом примере, если бы скорость вращения стержня менялась, то есть угловое ускорение:

$$\beta=\frac{d\omega}{dt}\ne 0$$

то кривая получилась бы совершенна иная. Так что где-то надо учитывать скорость, а где-то не надо учитывать.

arseniiv в сообщении #1186406 писал(а):

....Конечно, если кривая задаётся параметрически функцией $f$ (не будем говорить об ограничениях на неё), это значит, что кривая есть $\{ f(t) : t\in A \}$, где $A$ заранее известно, то ясно, что если $g\colon B\to A$ — сюръекция, $f\circ g$ задаёт то же множество, а в общем случае даже некоторые несюръективные $g$ могут подойти (если $f$ не инъекция).

Точка, двигаясь по своей траектории может проходить одну и ту же точку декартовой плоскости несколько раз. В этом случае нарушается инъективность. А как здесь может нарушиться сюръекция? Или она уже может нарушиться при композиции:

$$f_n\circ f_{n-1}\circ f_{n-2}......\circ f_1$$

где каждая $i$-ая функция отвечает за движение определённой части механической системы?

arseniiv в сообщении #1186406 писал(а):

Но тут дело не в этом, а в том, что задача (по-моему) не поставлена. Вот вы рассмотрели одну частную, а как выглядит общая? Что с ней неясно, что очевидно?

А как по-Вашему тут надо поставить задачу? Может наоборот сформулировать, что если какую-то плоскую кривую можно задать системой двух параметрических уравнений, то эту кривую можно задать как траекторию движущейся точки какой-то механической системы? То есть неясно то, что любая ли композиция функций, описывающая движение различных частей механической системы даст функциональную зависимость $x=\varphi(t)$ или $y=\psi(t)$ c непустой областью определения и непустой областью значений? Так? Или эти функции будут многозначными?

[Shtorm]

arseniiv в сообщении #1186406 писал(а):

Вот вы рассмотрели одну частную, а как выглядит общая? Что с ней неясно, что очевидно?

Думаю, очевидно, для того, чтобы механическая система задавала замкнутую кривую, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось какое-то из условий:
1.) Все части механической системы совершают вращательные движения, либо не все, тогда оставшиеся части неподвижны.
2.) Некоторые части механической системы совершают вращательные движения с постоянной угловой скоростью, некоторые части при этом могут быть неподвижны, а другие части могут совершать колебательные движения.

При каких-то иных движениях замкнутая кривая не получится, если считать, что изменение параметра $t\in(-\infty;+\infty)$.
Очевидно также, что не все колебательные движения из второго пункта можно описать элементарными функциями.

[Shtorm]

Дополнить надо ещё одним пунктом:
3.) Все части механической системы совершают колебательные движения.

[wrest]

Shtorm в сообщении #1186471 писал(а):

Думаю, очевидно, для того, чтобы механическая система задавала замкнутую кривую, необходимо и достаточно,

Shtorm
Циклоида не замкнута в принципе.
Если отношение радиусов иррациональное число, то и эпициклоида НЕ замкнута.

[Shtorm]

wrest в сообщении #1186516 писал(а):

Циклоида не замкнута в принципе.

Я прекрасно об этом помнил, когда начинал писать тему. Поэтому-то в самом первом сообщении темы я и наложил ограничения:

Shtorm в сообщении #1186025 писал(а):

...Пусть имеется механическая система, все части которой совершают непрерывное движение в ограниченной части пространства $\mathbb{R}^2$ (относительно выбранной системы отсчёта)....

Тем самым циклоиду я исключил из рассмотрения.

wrest в сообщении #1186516 писал(а):

Если отношение радиусов иррациональное число, то и эпициклоида НЕ замкнута.

Да, как и гипоциклоида, гипотрохоида, эпитрохоида. Поэтому я и написал:

Shtorm в сообщении #1186025 писал(а):

..Тогда, взяв любую точку данной системы, траектория движения которой описывает замкнутую кривую, мы всегда можем задать эту кривую системой двух параметрических уравнений

То есть я наложил ограничение - что точка описывает замкнутую кривую. Возможно надо было написать так:
"Тогда, если найдётся точка данной системы, траектория движения которой описывает замкнутую кривую, мы всегда можем задать эту кривую системой двух параметрических уравнений".
Но да, Вы правы, надо было это ещё раз повторить, описывая необходимые и достаточные условия.

[arseniiv]

Shtorm в сообщении #1186459 писал(а):

А как по-Вашему тут надо поставить задачу?

Так я вообще без понятия. Я пока не соображаю, в чём именно здесь вопрос. [Ниже прочитал и сообразил.]

Shtorm в сообщении #1186459 писал(а):

Ну, тут следует сказать и о том, что в вышеприведённом примере, если бы скорость вращения стержня менялась, то есть угловое ускорение:

$$\beta=\frac{d\omega}{dt}\ne 0$$

то кривая получилась бы совершенна иная. Так что где-то надо учитывать скорость, а где-то не надо учитывать.

Если всё выразимо через положения без скоростей, то не надо. При этом я вообще говорил только о результирующей кривой.

Shtorm в сообщении #1186459 писал(а):

Точка, двигаясь по своей траектории может проходить одну и ту же точку декартовой плоскости несколько раз. В этом случае нарушается инъективность. А как здесь может нарушиться сюръекция?

В данном случае $A$ и $B$ — какие-то множества значений аргумента функции, задающей кривую параметрически. $A$ — до репараметризации, $B$ — после. Если $g$ не сюръективна, мы некоторые значения старого параметра пропустим и получим только кусок кривой. Это относилось только к репараметризации кривой, а не к вашей общей задаче (она ведь явно не заключается ровно в этом), давайте не смешивать всё в одну кучу.

Shtorm в сообщении #1186459 писал(а):

Может наоборот сформулировать, что если какую-то плоскую кривую можно задать системой двух параметрических уравнений, то эту кривую можно задать как траекторию движущейся точки какой-то механической системы?

А что такое механическая система?

Shtorm в сообщении #1186459 писал(а):

То есть неясно то, что любая ли композиция функций, описывающая движение различных частей механической системы даст функциональную зависимость $x=\varphi(t)$ или $y=\psi(t)$ c непустой областью определения и непустой областью значений? Так? Или эти функции будут многозначными?

По-моему, это не переформулировка предыдущего вопроса, а другой вопрос.

Shtorm в сообщении #1186544 писал(а):

Возможно надо было написать так:
"Тогда, если найдётся точка данной системы, траектория движения которой описывает замкнутую кривую, мы всегда можем задать эту кривую системой двух параметрических уравнений".

Даже если описывает незамкнутую, мы всегда можем задать. Вообще положение точки здесь функция времени, так что…

Я-то поначалу думал, что вопрос больше о представимости этой функции (или этих функций, хотя я не вижу здесь пользы от рассмотрения координат отдельно) как композиции какого-то набора функций, которые мы знаем, и больше ничего.