Отыскание значений параметров функции

[Imaginarium]

Здравствуйте.

Столкнулся с задачей: надо выяснить вид общей функции $Q(t)$ падения ресурса нескольких ($N$) источников чего-то, если известно, что величина ресурса в каждом источнике зависит от времени следующим образом: $q(t) = q_0f(t)$, где $q_0$ - начальное значение количества ресурса в источнике, а функция падения содержания ресурса $f(t)$ имеет вид в двух вариантах:

$$ f_1(t) = \left( 1+bDt \right)^{-\frac{1}{b}} \eqno(1)$$

$$ f_2(t) = \begin{cases} \left( 1+b_1 D t \right)^{-\frac{1}{b_1}},&\text{если $t<\theta$;}\\ k\left( 1+b_2 D_2 (t-\theta) \right)^{-\frac{1}{b_2}},&\text{если $t \geqslant \theta$;}\\ \end{cases} \eqno(2)$$

Также известно, что источники начинают расходовать ресурс по одному через некоторый постоянный интервал времени $\tau$ - как будто мы просто открываем краны в бочке поочередно, оставляя открытыми.

В первом случае, как мне показалось, можно обойтись просто выражением:

$$ Q_1(t) = q_0 \sum\limits_{i=0}^{N-1} \left( 1+bD(t-i\tau) \right)^{-\frac{1}{b}} \eqno(3)$$

то со вторым я должен еще, по условию задачи, как-то определить параметры функции $k$ и $D_2$, т.к. независимыми во всей модели падения содержания ресурса являются только параметры $D, b_1, b_2, \theta$. Определить искомые параметры я должен из условия гладкости и непрерывности функции $f(t)$ в точке $t = \theta$. И вот с последним у меня первоочередная проблема.
Если $t = \theta$, то, очевидно, $f(t) = k$. И все. И никакой связи $k$ с другими параметрами, $D_2$ вообще тогда - любое. Гладкость, наверное, можно здесь принимать как дифференцируемость, ну, производная $k'(t)$, если предположить, что $k = k(t)$, пусть существует.

Не знаю как трактовать: то ли это продолжение условия задачи-комментарий для полноты описания, то ли надо как-то найти межпараметрическую зависимость из заявленных условий, и если да, то как это сделать.
Подскажите, пожалуйста, как быть - может я чего-то совершенно очевидного не вижу перед носом.

Спасибо.

[Imaginarium]

UPD: в предположении, что при $t = \theta$ функция $f_2(t) = k$ и ничего больше, думаю, что для всего второго случая хватит выражения (если я ничего не напутал с индексами):

$$Q_2(t) = \sum\limits_{i=0}^{\frac{\theta}{\tau}-1} \left(1+b_1D(t-i\tau)\right)^{-\frac{1}{b_1}} + \sum\limits_{i=\frac{\theta}{\tau}}^{N-1}k(1+b_2 D_2 \left(t-\theta - i\tau)\right)^{-\frac{1}{b_2}} \eqno(4)$$

Также тут важно, что $N \gg 1$. Мне кажется, это ничего не изменит, суммы не разойдутся.

[mihiv]

Как записать условие непрерывности функции $f_2(t)$ в точке $t=\theta ?$ Определение.

[Imaginarium]

Здравствуйте. Спасибо за ответ.

Функция $f_2(t)$ непрерывна в точке $t = \theta$, если для $\forall \varepsilon > 0$ $ \exists \delta > 0: |t-\theta|<\delta \Rightarrow |f_2(t) - f_2(\theta) |< \varepsilon$

Это тогда выглядит как $|t-\theta|<\delta \Rightarrow |k(1 + b_2 D_2(t-\theta))^{-1/{b_2}} - k |< \varepsilon$

Ну или если существует предел в этой точке, равный значению функции в этой точке. Предел существует, он равен $k$. Что из этого следует для значений $k$ и $D_2$: что $k = 1$ (если быстро прикинуть левый-правый пределы для всей функции $f_2(t)$), тогда $D_2 = 0$ ? Это явно ерунда

[mihiv]

Если приближаться к точке $\theta $ слева, то чему равен предел?

[Imaginarium]

да, промахнулся, спасибо:

$$\lim_{t\rightarrow \theta -0}f_2(t) = \lim_{t\rightarrow \theta - 0} (1+b_1Dt)^{1/{b_1}} = (1+b_1D\theta)^{1/{b_1}}$$

Соответственно, правый:

$$\lim_{t\rightarrow \theta +0}f_2(t) = \lim_{t\rightarrow \theta + 0} k(1+b_2D_2(t-\theta))^{1/{b_2}} = k$$

Из условия непрерывности имеем:

$$ k = (1+b_1D\theta)^{1/{b_1}}$$

Но вот $D_2$ отсюда все равно не достается... Все равно выходит равным 0?

[mihiv]

Imaginarium в сообщении #1185734 писал(а):

Но вот $D_2$ отсюда все равно не достается...

Так Вы и условия еще не все использовали.

[Imaginarium]

mihiv в сообщении #1185738 писал(а):

Так Вы и условия еще не все использовали.

Вы имеете в виду гладкость функции? А как сюда это можно приспособить? Берем производные, считаем их пределы, опять слева-справа? Там будут километровые выражения, и все равно $D_2$ не достать, опять в лучшем случае, получу на $k$ уравнение.

[mihiv]

Imaginarium в сообщении #1185740 писал(а):

Там будут километровые выражения, и все равно $D_2$ не достать

А Вы попробуйте.

[Imaginarium]

Хм. Возможно я опять что-то делаю совсем не так, но получилось следующее:

$$ \lim\limits_{t\rightarrow\theta+0} \frac{d}{dt} \left( k(1+ b_2D_2 (t-\theta))^{1/b_2} \right) = kD_2 \text{ внезапно} $$

при этом:

$$ \lim\limits_{t\rightarrow\theta-0} \frac{d}{dt} \left( (1+ b_1D t)^{1/b_1} \right) = -D(1+b_1 D \theta)^{-1-\frac{1}{b_1}} $$

Если $k = (1+b_1D\theta)^{-1/b_1}$, то имеем:

$$ D_2 = \frac{-D(1+b_1D\theta)^{-1-\frac{1}{b_1}}}{(1+b_1D\theta)^{1/{b_1}}} = -D(1+b_1D\theta)^{-1-\frac{2}{b_1}}$$

что выглядит очень даже, как и положено, вроде бы. Я ничего не наврал (уже себе не верю совсем)?

[mihiv]

$$ \lim\limits_{t\rightarrow\theta-0} \frac{d}{dt} \left( (1+ b_1D t)^{1/b_1} \right) = -D(1+b_1 D \theta)^{-1-\frac{1}{b_1}} $$

Здесь ошибка.

[Imaginarium]

Да, Вы правы - здесь, и везде в рассуждении про пределы, я забыл минус в показателе степени для $f_{1,2}(t)$, а вычисления почти везде правильные - в начале только минус из-за этого потерял.

Выражение, на которое Вы указали, будет выглядеть:

$$ \lim\limits_{t\rightarrow\theta-0} \frac{d}{dt} \left( (1+ b_1D t)^{-1/b_1} \right) = -D(1+b_1 D \theta)^{-1-\frac{1}{b_1}} $$

Затем, заново идя сверху вниз, исправим ошибки:

$$\lim_{t\rightarrow \theta -0}f_2(t) = \lim_{t\rightarrow \theta - 0} (1+b_1Dt)^{-1/{b_1}} = (1+b_1D\theta)^{-1/{b_1}}$$

$$\lim_{t\rightarrow \theta +0}f_2(t) = \lim_{t\rightarrow \theta + 0} k(1+b_2D_2(t-\theta))^{-1/{b_2}} = k$$

$$ k = (1+b_1D\theta)^{-1/{b_1}}$$

$$ \lim\limits_{t\rightarrow\theta+0} \frac{d}{dt} \left( k(1+ b_2D_2 (t-\theta))^{-1/b_2} \right) = -kD_2 $$

$$ D_2 = \frac{-D(1+b_1D\theta)^{-1-\frac{1}{b_1}}}{-(1+b_1D\theta)^{-1/{b_1}}} = D(1+b_1D\theta)^{-1-\frac{2}{b_1}}$$