Период дискретизации

[wrest]

sng1
Вот наткнулся, на мой взгляд доходчивый текст и основные моменты (конечность-бесконечность и непрерывность-дискретность сигнала и его спектра) затронуты:
https://blog.amartynov.ru/%D1%82%D0%B5% ... %B8%D1%8F/

[profrotter]

Хургин, Яковлев Финитные функции в физике и технике. Раздел "Интерполяция целых функций".

[Евгений Машеров]

Brukvalub в сообщении #1185273 писал(а):

Значит, нужно искать информацию по словам "интерполяция тригонометрического многочлена", "Дискретное преобразование Фурье", "Быстрое преобразование Фурье".

БПФ-то зачем? Это замечательный вычислительный инструмент, но совершенно не сюда.

[sng1]

Понял, что функции представимые в виде ряда Фурье с конечным числом членов, правильнее называть функциями с дискретным финитным спектром.

profrotter в сообщении #1185360 писал(а):

Хургин, Яковлев Финитные функции в физике и технике. Раздел "Интерполяция целых функций".

Если я правильно понял, то это теорема 2 на стр. 142, и $\beta$ это ширина носителя спектра, но хорошо бы еще ссылку на формулировку и доказательство без использования понятия целых функций конечной степени. Не хочется в бакалаврском дипломе вводить новые понятия без необходимости.

[profrotter]

Напишите просто, что поскольку ряд Котельникова описывает реакцию идеального фильтра нижних частот на дискретный сигнал, полученный дискретизацией сигнала с ограниченным спектром, то ...

Или рассматривайте спектральную плотность обобщённо.

Хотя и в первом случае, если копать без дельта-функций никак.

[sng1]

Будем понимать преобразование Фурье в смысле обобщенных функций, т.е. для любой $2 \pi$ периодической функции $\hat{f}(\omega)=(2\pi)^{0.5}\sum_{n=-\infty}^\infty \hat{f}_n \delta(\omega-n)$, где $\hat{f}_n$ - $n$-й коэффициент ряда Фурье.

На какой источник сослаться, где обосновано такое представление и имеется доказательство теоремы Котельникова для такого случая?

[levtsn]

Для дискретного спектра недостаточность очевидна.
Для непрерывного, не понимаю как может быть достаточно, ведь информация о самой верхней частоте потеряется. В любом случае, практического значения этот вопрос не имеет.

[sng1]

Под таким случаем я имел в виду функции с финитным спектром, когда можно представить функцию рядом Фурье с конечным числом членов, а период дискретизации для дискретного спектра строго меньше периода для непрерывного (континуального) спектра.

[profrotter]

sng1 в сообщении #1185467 писал(а):

На какой источник сослаться, где обосновано такое представление и имеется доказательство теоремы Котельникова для такого случая?

После того, как формально введена спектральная плотность неинтегрируемой функции ссылаться можно на любой учебник, где доказывается теорема Котельникова и в доказательстве понимать спектральную плотность обобщённо. Вопрос в том зачем обязательно ссылаться через книгу на широкоизвестный факт. Подойдут книжки с названием "Радиотехнические цепи и сигналы" (авторы Гоноровский, Баскаков, Стеценко), Денисенко Сигналы, некоторые книги с названием "Цифровая обработка сигналов" и им подобные.

Добавил 18.01.17
И всё о чём мы тут пишем есть в том же Хургин, Яковлев см. там теорему Котельникова и последующие комментарии (параграф 3.1).

[sng1]

Как тогда объяснить факт, что в Зориче и в оригинальной работе Котельникова доказано, что для восстановления функции достаточно дискретизировать с критической частотой, а пример с синусом показывает что для восстановления, частота дискретизации должна быть строго больше критической частоты. Приходят на ум два объяснения, либо в случае обобщенных функций оригинальное доказательство не проходит, либо в оригинальном доказательстве ошибка.
А как на самом деле?

[profrotter]

Надо смотреть доказательство. Скорее всего там есть интеграл в пределах $[-\omega_m,\omega_m]$. И вот если на максимальной частоте в спектре $\omega_m$ разместилась дельта-функция (как у гармоники), такой предел в интеграле использовать нельзя - надо взять хотя бы чуть-чуть больше.

[wrest]

sng1 в сообщении #1185518 писал(а):

А как на самом деле?

Я понимаю так, что на самом деле одно из двух неравенств должно быть строгим: или частота дискретизации строго больше удвоенной максимальной частоты в передаваемом спектре или максимальная передаваемая частота строго меньше уполовиненной частоты дискретизации. У Котельникова, как мне кажется, второй вариант. В репринте первая формула на стр. 764 (она без номера).

[sng1]

profrotter в сообщении #1185532 писал(а):

И вот если на максимальной частоте в спектре $\omega_m$ разместилась дельта-функция (как у гармоники), такой предел в интеграле использовать нельзя - надо взять хотя бы чуть-чуть больше.

Похоже, что так оно и есть. Плохо, что пока в дипломе не удается подкрепить это ссылкой на литературу, не хотелось бы выдавать это за собственный результат.

[sng1]

profrotter в сообщении #1185509 писал(а):

Добавил 18.01.17
И всё о чём мы тут пишем есть в том же Хургин, Яковлев см. там теорему Котельникова и последующие комментарии (параграф 3.1).

Спасибо, это то что я и искал. А сам я раньше не догадался посмотреть оглавление на наличие теоремы Котельникова, просмотрел изначально только первоначально рекомендованный к ознакомлению параграф, такое наверно нехорошее свойство мозга.