2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Релятивистский разгон
Сообщение16.01.2017, 12:36 
Заслуженный участник


28/12/12
4311
Частица массы $m$ разгоняется на пути $L$ постоянной силой до энергии $E$. Найти время разгона.
Кинетическая энергия частицы $T=E-mc^2$ может быть не мала по сравнению с энергией покоя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение16.01.2017, 14:33 


05/09/16
1471
$t=\dfrac{L\sqrt{E-mc^2}}{c\sqrt{E+mc^2}}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение16.01.2017, 14:40 
Заслуженный участник


28/12/12
4311
wrest
У меня по-другому получилось.
В нерелятивистском пределе должно быть
$$t\approx\dfrac{2L}{v}=L\sqrt{\dfrac{2m}{E-mc^2}},$$
а по вашей формуле выходит $Lv/2c^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение16.01.2017, 15:04 


05/09/16
1471
DimaM в сообщении #1185184 писал(а):
У меня по-другому получилось.

Значит я выбрал или не тот корень (из 4-х) или где-то налажал по-крупному.

Исходил из следующего
поскольку $p^2=\dfrac{m^2v^2}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$ а по условию $\dfrac{dp}{dt}=F=const$ значит $v=\dfrac{cFt}{\sqrt{F^2t^2+m^2c^2}}$ (1)
Интегрируем скорость по времени и получаем пройденный путь $L=\dfrac{c(\sqrt{c^2m^2+F^2t^2}-mc)}{F}$ (2)
далее из $E^2=\dfrac{m^2c^4}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$ получаем $v= \sqrt{c^2-\dfrac{m^2c^6}{E^2}}$ (3)

Ну и дальше из (2) выражаем силу, которую подставляем в уравнение (1)=(3)
Там множество раскрытий скобок, где возможно потерялась путеводная нить...

После всех преобразований получилось уравнение
$E^2m^2c^8t^4-2E^2m^2c^6L^2t^2-m^4c^{12}t^4-2m^4c^{10}L^2t^2-L^4m^4c^8+E^2m^2c^4L^4=0$
которое не в силах упрощать, я скормил в Wolfram, получилось 4 корня, выбрал положительный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение16.01.2017, 15:12 
Заслуженный участник


28/12/12
4311
wrest в сообщении #1185192 писал(а):
Там множество раскрытий скобок, где возможно потерялась путеводная нить...

Я немного по-другому рассуждал.
Находим $v$ и $L$, после чего получаем $\gamma=\sqrt{1+(at/c)^2}$ (обозначение $a=F/m$). Видно, что $L=\dfrac{c^2}{a}(\gamma-1)$. Выражаем $t$ из выражения для $\gamma$, получаемтся $t=\dfrac{c}{a}\sqrt{\gamma^2-1}$. Остается поделить второе на первое и заметить, что $\gamma=E/mc^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение16.01.2017, 15:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63026
$c=1,\quad\gamma=1/\sqrt{1-v^2}$

Докажем, что движение гиперболическое. 4-вектор силы $g^\mu=(\mathbf{fv}\gamma,\mathbf{f}\gamma)=(fv\gamma,\mathbf{f}\gamma),$ и его квадрат модуля $g^2=f^2v^2\gamma^2-f^2\gamma^2=f^2(v^2-1)\gamma^2=-f^2=\mathrm{const}.$

    Само по себе это очень красивый результат!

Например, заряженная частица в ускоряющем промежутке движется гиперболически (по гиперболе в пространстве-времени).

Дальше используем банальную тригонометрию (гиперболическую). Радиус гиперболы $R,$ угол рассматриваемой дуги $\theta.$ Знаем:
- $R(\ch\theta-1)=L$ - из пути разгона (поместив центр гиперболы в начало координат, получаем, что разгон идёт от $R$ до $R+L$);
- $m\ch\theta=E$ - из конечной энергии.
Найти надо
- $R\sh\theta=t.$

$\ch\theta=E/m$
$\sh\theta=\sqrt{E^2/m^2-1}$
$R=\dfrac{L}{E/m-1}$
    $t=L\sqrt{\dfrac{E/m+1}{E/m-1}}$

Восстанавливая $c,$ имеем
    $t=\dfrac{L}{c}\sqrt{\dfrac{E+mc^2}{E-mc^2}}=\dfrac{L}{c}\sqrt{\dfrac{E+mc^2}{T}}$

-- 16.01.2017 16:02:22 --

Берём нерелятивистский предел: $E+mc^2\approx 2mc^2,$
    $t\approx L\sqrt{\dfrac{2m}{T}}$
Совпадает с тем, что требуется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение16.01.2017, 16:05 
Заслуженный участник


28/12/12
4311
Munin
Красиво!

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение16.01.2017, 16:18 


05/09/16
1471
А, такой корень тоже был, но вольфрам его выдал в виде
$t=\dfrac{\sqrt{-L^2(E+mc^2)}}{\sqrt{-c^2(E-mc^2)}}$
и я чего-то подумал, что он не подходит...

-- 16.01.2017, 16:21 --

DimaM в сообщении #1185206 писал(а):
Красиво!

Магия... представляю такое решение на олимпиаде.... как бы удивились комиссионеры.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение16.01.2017, 16:27 
Заслуженный участник


28/12/12
4311
wrest в сообщении #1185207 писал(а):
А, такой корень тоже был, но вольфрам его выдал в виде
$t=\dfrac{\sqrt{-L^2(E+mc^2)}}{\sqrt{-c^2(E-mc^2)}}$
и я чего-то подумал, что он не подходит...

На Вольфрама надейся, да сам не плошай :-).

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение16.01.2017, 16:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63026
Замечание: к сожалению, движение не является гиперболическим, если начальная скорость не сонаправлена с силой. Подсказку даёт та же электродинамика: перейдя в начальную ИСО частицы, мы увидим магнитное поле, которое будет отклонять частицу от прямой линии. Однако, кажется, в итоге линия тоже будет красивой: "спираль, намотанная на гиперболу". В ЛЛ-2 дан только частичный результат, хотя указан путь к полному: разложить движение на разные направления. Думаю, ответ можно получить из соображений симметрии...

В ультрарелятивистском пределе
    $t\approx L/c,$
что, в общем-то, логично: большая часть движения происходит почти со скоростью света.

Зависимость $t$ от $L$ линейная, что физически несколько неожиданно. Геометрически всё понятно: мы просто масштабируем траекторию в пространстве-времени.

Зависимость $t$ от $E$ некрасивая: $\sqrt{1+2/(E/m-1)}.$ Просто корень из гиперболы. В предельных случаях она даётся формулами нерелятивистского $\sim T^{-1/2}$ и ультрарелятивистского $\sim\mathrm{const}$ пределов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение16.01.2017, 22:20 


05/09/16
1471
Munin в сообщении #1185214 писал(а):
Зависимость $t$ от $L$ линейная, что физически несколько неожиданно.


DimaM Munin

У меня в этой связи остался вопрос, если можно.

Если допустим в момент начала разгона на частице включается лампочка, а в конце (при прохождении конца пути L) -- выключается, то какой длительности вспышку мы зафиксируем в СО, где путь L неподвижен?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение16.01.2017, 22:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63026
Если мы наблюдаем из какой-то точки, надо указать точку, и считать. А если просто разность моментов времени по этой СО, то $t.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение16.01.2017, 23:15 


05/09/16
1471
Munin в сообщении #1185313 писал(а):
А если просто разность моментов времени по этой СО, то $t.$

А как правильно называется время, которое требуется найти в задаче -- "координатное", "лабораторное" или как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 00:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63026
Ох, я как-то точно и не знаю :-) Когда мне скажут "координатное" или "лабораторное", я примерно так и подумаю, что речь об этой $t.$ Тут дело скорей не в точном термине, а во взаимопонимании. Если вы разговариваете со здравым человеком, то договоритесь очень быстро. А если вы разговариваете с "опровергуном", то какие бы термины вы ни говорили, он их неправильно поймёт, извратит и вывалит обратно вам на голову.

И ещё. Первичны не термины, а понятия.

 Профиль  
                  
 
 Re: Релятивистский разгон
Сообщение17.01.2017, 08:24 
Заслуженный участник


21/09/15
645
Ещё вариант

$T=E-m c^2=F L$ (Это следует из $E dE=c^2p dp$ , $dE=v dp=v F dt = F dx$ )

$t=\frac{p}{F}=\frac{p L}{E-m c^2}=\frac{L \sqrt{E^2 - m^2 c^4}}{c (E-m c^2)}=\frac{L}{c} \sqrt{\frac{E+m c^2}{E-m c^2}}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 40 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group