2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Еще раз об иррациональных числах
Сообщение10.01.2017, 18:41 
Аватара пользователя


15/11/15
771
Москва
Недавно случайно в голову пришла такая мысль: пусть за $x_a$ обозначена последняя десятичная запись числа $a!$. Будет ли число $0,x_1x_2x_3...$ иррациональным? Доказать иррациональность мне не удается, хотя идея очень правдоподобна, так как никаких зацикливаний я не обнаружил. Известна ли такая задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение10.01.2017, 18:48 
Аватара пользователя


21/09/12
1275
Конечное число членов даёт вполне конечную десятичную дробь - в отличие от $1/3$ даже.
А вопрос, будет ли бесконечная последовательность иррациональной, смысла не имеет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение10.01.2017, 18:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
1263
Москва
Что такое "последняя десятичная запись"?
Если просто "десятичная запись", а наше число равно $0,1126241207205040...$, то иррационально - достаточно посмотреть на то, какой длины бывают идущие подряд подпоследовательности из одних нулей (для рациональных чисел либо конечной, либо число является десятично-рациональным).

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение10.01.2017, 21:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
6228
Я понял вопрос ТС так:
берём последовательность факториалов:
$$\begin{align*}
1! &= 1\\
2! &= 2\\
3! &= 6 \\
4! &= 24\\
5! &= 120\\ 
... \\
n! &=  ...\\
...
\end{align*}$$

Теперь собираем последние цифры и конструируем из них последовательность. О том, что эта последовательность равна именно 0.1264 (0) ТС, похоже, догадывается, но не признаётся:
Rusit8800 в сообщении #1183372 писал(а):
так как никаких зацикливаний я не обнаружил.

Или я понял неправильно, но тогда TS пусть обьяснит, что такое число $a$, откуда оно, и с чем его едять.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение10.01.2017, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4061
Неужели так много разумных вариантов? Или первая цифра или последняя ненулевая. С первой всё просто, а вот с последней тоже, наверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение11.01.2017, 13:00 
Заслуженный участник


12/09/10
1481
grizzly в сообщении #1183466 писал(а):
а вот с последней тоже, наверное


Это задача 3.14 из сборника Сергеева "Зарубежные математические олимпиады". Достаточно содержательная задача для школьника.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение11.01.2017, 14:49 
Аватара пользователя


21/09/12
1275
Cash
Задача по Вашей ссылке это:
Пусть $h_n$ последняя ненулевая цифра $n!$. Доказать, что число $0,h_1h_2h_3h_4...$ иррациональное.
С задачей ТС у неё мало общего. До этого большей частью обсуждали, как понять задачу Rusit8800.

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение11.01.2017, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
4061
atlakatl в сообщении #1183624 писал(а):
С задачей ТС у неё мало общего. До этого большей частью обсуждали, как понять задачу Rusit8800.
Ну так сообщение Cash и было развитием этого обсуждения. Не самым худшим, имхо. (Чувствовал я, что с последней цифрой всё не так очевидно :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Еще раз об иррациональных числах
Сообщение11.01.2017, 15:27 
Заслуженный участник


12/09/10
1481
atlakatl в сообщении #1183624 писал(а):
С задачей ТС у неё мало общего.

Вы поняли точно, что хотел ТС? Ваша телепатия тогда сильнее моей.
Я и не пытался понимать. Отвечал grizzly на его сообщение. И здесь я уверен, что он подразумевал именно эту задачу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group