Доказать свойство НОД

[student1138]

Здравствуйте.

Помогите доказать для целостного кольца то что $\gcd(ta, tb) = t \gcd(a, b)$.
Пусть $\gcd(a, b) = d$. Тогда первое свойство НОД очевидно: $td|ta, td|tb$. А вот второе свойство НОД не могу доказать: $c|ta, c|tb \Rightarrow c | td$. Опять, очевидно, если $c|a, c|b$ то $tc|td$ но нам-то надо доказать для любого $c$, делящего $ta, tb$ а не только для делителей $a, b$.

[Sinoid]

student1138 в сообщении #1181837 писал(а):

целостного кольца

Вы имеете ввиду кольцо целых чисел?

[student1138]

Sinoid в сообщении #1181841 писал(а):

student1138 в сообщении #1181837 писал(а):

целостного кольца

Вы имеете ввиду кольцо целых чисел?

Нет, произвольное целостное кольцо, не обязательно факториальное

[Xaositect]

Очевидно, что $t$ - это общий делитель $ta$ и $tb$, значит, их НОД делится на $t$. Поэтому надо искать как раз в виде $tc$.

[iou]

Можно вспомнить, что НОД -- наименьшая по норме линейная комбинация.
Тогда если мы знаем НОД для чисел $a, b$, то

$$\alpha a+\beta b=\gcd(a, b) => \alpha (ta)+ \beta (tb)=t\gcd(a ,b)$$

Осталось понять, почему не найдётся линейной комбинации с меньшей нормой.

[Brukvalub]

iou в сообщении #1181853 писал(а):

НОД -- наименьшая по норме линейная комбинация.

Разве речь шла про нормированное кольцо?

[student1138]

Xaositect в сообщении #1181846 писал(а):

Очевидно, что $t$ - это общий делитель $ta$ и $tb$, значит, их НОД делится на $t$. Поэтому надо искать как раз в виде $tc$.

Что-то я не уверен что понимаю правильно. Пусть $d'$ - наш НОД. Он делится на $t$ а так же на все делители, кокторые делят одновременно $a$ и $b$. Следует ли из этого что в разложение $d'$ обязательно одновременно входят $t$ и $d$? Это мне не очевидно мне т.к. не совсем вижу как из $d' = tx, d' = dy$ следует $d' = tdz$

[vpb]

Что-то я забыл основы теории. Вы уверены, что в любом целостном кольце, не обязательно факториальном, НОД всегда существует? У вас была такая теорема в курсе? Я к тому, что если не всегда существует, то какой смысл в задаче?

[student1138]

vpb в сообщении #1181897 писал(а):

Что-то я забыл основы теории. Вы уверены, что в любом целостном кольце, не обязательно факториальном, НОД всегда существует? У вас была такая теорема в курсе? Я к тому, что если не всегда существует, то какой смысл в задаче?

Как я понимаю, существует, т.к. целостное кольцо - с единицей.

[Brukvalub]

vpb в сообщении #1181897 писал(а):

Вы уверены, что в любом целостном кольце, не обязательно факториальном, НОД всегда существует?

Кажется, Вы, vpb, правы, одной целостности для корректного определения НОД мало, нужна факториальность.

[student1138]

Brukvalub в сообщении #1181905 писал(а):

vpb в сообщении #1181897 писал(а):

Вы уверены, что в любом целостном кольце, не обязательно факториальном, НОД всегда существует?

Кажется, Вы, vpb, правы, одной целостности для корректного определения НОД мало, нужна факториальность.

Почему? Единица же всегда будет общим делителем. А если нет других общих делителей то и наибольшим.

[Brukvalub]

student1138 в сообщении #1181906 писал(а):

Почему? Единица же всегда будет общим делителем. А если нет других общих делителей то и наибольшим.

А если есть и другие общие делители? Вы сейчас никак не используете даже свойства целостности! Хорошо бы увидеть более весомые аргументы существования и единственности НОД в любом целостном кольце с единицей.

[student1138]

Brukvalub в сообщении #1181908 писал(а):

student1138 в сообщении #1181906 писал(а):

Почему? Единица же всегда будет общим делителем. А если нет других общих делителей то и наибольшим.

А если есть и другие общие делители? Вы сейчас никак не используете даже свойства целостности! Хорошо бы увидеть более весомые аргументы существования и единственности НОД в любом целостном кольце с единицей.

Ну как, НОД$(a, b)$ - это элемент $d$, обладающий двумя свойствами:
1) $d|a, d|b$
2) $c|a, c|b \Rightarrow c|d$

НОД не единственный т.к. любой ассоциированный с ним элемент тоже обладает этими свойствами.
Как я понимаю, наличия единицы достаточно чтобы он существовал. Если есть другие общие делители - то один из них (и ассоцированные с ним элементы) будет НОД. Если их нет - то единица будет НОД. Тут от свойств целостности я использую наличие единицы.

[Brukvalub]

student1138 в сообщении #1181910 писал(а):

Тут от свойств целостности я использую наличие единицы.

Разве не бывает коммутативных колец с единицей и делителями нуля?

[student1138]

Brukvalub в сообщении #1181911 писал(а):

student1138 в сообщении #1181910 писал(а):

Тут от свойств целостности я использую наличие единицы.

Разве не бывает коммутативных колец с единицей и делителями нуля?

Ну вроде в определение целостности входит отсутствие делителей нуля, но я не вижу как я это свойство здесь использую. Единица же не может быть делителем нуля? Но не суть важно. Кольцо без делителей нуля и хорошо. В общем вот эта часть учебника на которой я застрял.