Сумма нижних граней функций

[NEvOl]

Помогите разобраться с задачкой. Пусть $m[f]$ - нижняя грань функции на промежутке $(a, b)$. Доказать что если функции $f_1(x)$ и $f_2(x)$ определены на $(a, b)$, то $m[f_1+f_2] \geqslant m[f_1]+m[f_2]$.
Понятно что $\forall x \in (a, b) $ $m[f_1(x)] \leqslant f_1(x)$ по определению нижней грани, тоже самое для функции $f_2(x)$ тогда сложив оба неравенства имеем: $m[f_1(x)]+m[f_2(x)] \leqslant f_1(x) + f_2(x)$ дальше не понимаю как. Если обозначить $f_1(x) + f_2(x)=f_3(x)$ то нужно показать что нижняя грань множества значений функции $f_3(x)$ больше либо равна сумме нижних граней составной функции т.е. $m[f_1(x)]+m[f_2(x)] \leqslant m[f_3(x)]$, но на основе чего делать такие выводы не понимаю, подскажите пожалуйста.

[Brukvalub]

Brukvalub в сообщении #1180719 писал(а):

$m[f_1(x)]+m[f_2(x)] \leqslant f_1(x) + f_2(x)$ дальше не понимаю как.

Вот вы доказали, что левая часть неравенства - некое число- является нижней гранью множества значений правой части. Неужели еще что-то неясно?

[bot]

Brukvalub в сообщении #1180719 писал(а):

является нижней гранью множества

Лучше бы сказать - границей. Кто-то вкладывает в понятие нижней грани её точность, а кто и нет.

[NEvOl]

кажется понял, так как $\forall x \in (a, b)$ выполняется неравенство $z=m[f_1(x)]+m[f_2(x)] \leqslant f_3(x)$ то функция $f_3(x)$ как минимум ограничена с низу числом $z$, но так как мы не находили у функции $f_3(x)$ точной нижней грани, то мы с уверенностью можем только сказать что она как минимум удовлетворяет неравенству: $z \leqslant m[f_3(x)]$ ?

[demolishka]

NEvOl, взятие инфимума в неравенстве это то же самое, что предельный переход, при котором, как известно, нестрогие неравенства сохраняются.