Задача о движении двух тел. [Теоретическая механика]

[Nemodny]

Здравствуйте. Прошу помощи с решением задачи.
Потенциальная энергия взаимодействия двух материальных точек с массами $m_1$ и $m_2$ равна П(r), их начальные положения $\vec{r_1}(0)$, $\vec{r_2}(0)$ и начальные скорости $\vec{v_1}(0)$, $\vec{v_2}(0)$ заданы. При $t\in[0; T]$ требуется построить:
1. Траекторию точки с радиус-вектором $\vec{r}=\vec{r_2}-\vec{r_1}.$
2. Траектории относительного движения частиц $m_1 $и $m_2 $ около их общего центра масс.
3. Траектории обеих материальных точек, а также их центра масс в общей неподвижной системе

Условия:
$\Pi(r)=\frac{-42}{(r+1)}$;
$m_1 = 2$;
$\vec{r_1}(0) = (10,1,0)$;
$\vec{v_1}(0) = (1,1,0)$;
$m_2 = 3$;
$\vec{r_2}(0) = (2,0,0)$;
$\vec{v_2}(0) = (0,4,0)$;
$T = 34$

Рассмотрим замкнутую систему, на которую не действуют внешние силы, а взаимодействие между любыми двумя ее материальными точками потенциально. Предположим далее, что энергия взаимодействия между любой парой частиц системы описывается одной и той же функцией $\Pi$, зависящей только от расстояния между частицами с соответствующими начальными условиями.
$m_i\frac{d^2\vec{r_i}}{dt^2}=-\sum\limits_{j\ne i}\frac{\partial \Pi(\left\lvert \vec{r_i}- \vec{r_j}\right\rvert)}{\partial \vec{r_i}}$

Введем в рассмотрение вектор $ \vec{r}=\vec{r_2}-\vec{r_1}$, разделяющий рассматриваемые частицы $m_1$ и $m_2$.
Можно вывести, что для этого вектора справедливо уравнение:
$\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\cdot \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-\nabla \Pi(\left\lvert \vec{r}\right\rvert)$

Оно описывает движение гипотетической частицы с массой $\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}$ под действием центральной силы, ибо градиент функции $\Pi(\left\lvert \vec{r}\right\rvert)$ коллинеарен вектору $\vec{r}$. Следовательно, траектория этой частицы должна быть плоской кривой.

Поскольку система замкнута, эволюция радиус-вектора ее центра масс полностью определяется начальными условиями задачи. В свою очередь, зная $\vec{r} $ и $\vec{r_c}$, можно найти и радиус-векторы обеих частиц.

Мне непонятно как найти $\vec{r_1}(t)$ и $ \vec{r_2}(t)$.
Вся найденная мной литература описывает случаи когда $\vec{r_1}(t)$ и $ \vec{r_2}(t)$ известны. Никаких методов их нахождения не приводиться.

[GAA]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи. Это очень стандартный материал, изложенный в большом количестве учебников. Посмотрите учебники и укажите конкретные затруднения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[photon]

Перенесено в «Помогите решить / разобраться (Ф)» - думаю, более, подходящий раздел.

[Munin]

Nemodny в сообщении #1179416 писал(а):

Вся найденная мной литература описывает случаи когда $\vec{r_1}(t)$ и $ \vec{r_2}(t)$ известны. Никаких методов их нахождения не приводиться.

В литературе по теоретической механике ваша задача называется задачей движения в центральном поле. Она приводится к одномерной задаче движения в потенциале.
Ландау, Лифшиц. Механика. § 14.
Медведев. Начала теоретической физики. § 1.10.

Как вы за эту задачу схватились без литературы - непонятно. "Вся найденная мной" - это какая это, интересно?

[Pphantom]

Nemodny в сообщении #1179416 писал(а):

Поскольку система замкнута, эволюция радиус-вектора ее центра масс полностью определяется начальными условиями задачи. В свою очередь, зная $\vec{r} $ и $\vec{r_c}$, можно найти и радиус-векторы обеих частиц.

И в чем, собственно, проблема? Вы знаете, где находится барицентр в момент $t=0$, Вы знаете, что полный импульс замкнутой системы в барицентрической системе отсчета нулевой, поэтому, зная начальные скорости, знаете и скорость движения барицентра (а также знаете, что она постоянна). Следовательно, Вы знаете положение барицентра в любой момент времени.

Nemodny в сообщении #1179416 писал(а):

Мне непонятно как найти $\vec{r_1}(t)$ и $ \vec{r_2}(t)$.

Ну, тут кроме ответа, пожалуй, даже и подсказывать-то нечего.

Пусть $\vec R_1$ и $\vec R_2$ - координаты тел в барицентрической системе отсчета. Тогда, очевидно, $m_1 \vec R_1 + m_2 \vec R_2 = 0$, $\vec r = \vec R_2 - \vec R_1$. Ищете их, потом находите $\vec r_i = \vec r_c + \vec R_i$. Все.

[Munin]

Дык ему не только барицентр, вроде, нужен...

[Pphantom]

Munin в сообщении #1180108 писал(а):

Дык ему не только барицентр, вроде, нужен...

А остальное уже описано.

[Munin]

А дифур решать не надо?

[Pphantom]

Munin в сообщении #1180133 писал(а):

А дифур решать не надо?

Ну, это вопрос к ТС. В этом месте ему вроде все понятно.

[Munin]

А мне показалось, что как раз в этом у него и затык. Ну, подождём, пока он выскажется.

[Nemodny]

Pphantom в сообщении #1180105 писал(а):

Nemodny в сообщении #1179416 писал(а):

Поскольку система замкнута, эволюция радиус-вектора ее центра масс полностью определяется начальными условиями задачи. В свою очередь, зная $\vec{r} $ и $\vec{r_c}$, можно найти и радиус-векторы обеих частиц.

И в чем, собственно, проблема? Вы знаете, где находится барицентр в момент $t=0$, Вы знаете, что полный импульс замкнутой системы в барицентрической системе отсчета нулевой, поэтому, зная начальные скорости, знаете и скорость движения барицентра (а также знаете, что она постоянна). Следовательно, Вы знаете положение барицентра в любой момент времени.

Nemodny в сообщении #1179416 писал(а):

Мне непонятно как найти $\vec{r_1}(t)$ и $ \vec{r_2}(t)$.

Ну, тут кроме ответа, пожалуй, даже и подсказывать-то нечего.

Пусть $\vec R_1$ и $\vec R_2$ - координаты тел в барицентрической системе отсчета. Тогда, очевидно, $m_1 \vec R_1 + m_2 \vec R_2 = 0$, $\vec r = \vec R_2 - \vec R_1$. Ищете их, потом находите $\vec r_i = \vec r_c + \vec R_i$. Все.

Все равно не понятно. Как я найду координаты тел в барицентрической системе отсчета?
Да, я могу задать три каких то точки и в момент $t=0$ получить координаты $\vec R_1$ и $\vec R_2$. А в общем случае?

[Pphantom]

Nemodny в сообщении #1180500 писал(а):

Все равно не понятно. Как я найду координаты тел в барицентрической системе отсчета?

Кхм... а это кто писал:

Nemodny в сообщении #1179416 писал(а):

Введем в рассмотрение вектор $ \vec{r}=\vec{r_2}-\vec{r_1}$, разделяющий рассматриваемые частицы $m_1$ и $m_2$.
Можно вывести, что для этого вектора справедливо уравнение:
$\frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\cdot \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}=-\nabla \Pi(\left\lvert \vec{r}\right\rvert)$

Или Вы именно его решить не можете?

Кстати, к случаю... вопросы вроде "следует построить траектории" означают, что допустимо численное решение? Если да, то задача совсем банальна. Если нет - найдите первые интегралы задачи (четыре очевидны, еще один будет чуть сложнее). Как вариант, можно перейти к полярным координатам и сделать замену Бине.

[Munin]

Nemodny в сообщении #1180500 писал(а):

Как я найду координаты тел в барицентрической системе отсчета?

Вам известно, что такое барицентрическая система отсчёта? Вам известны формулы перехода к ней? Вот по ним и найдёте.

Nemodny в сообщении #1180500 писал(а):

Да, я могу задать три каких то точки и в момент $t=0$ получить координаты $\vec R_1$ и $\vec R_2$. А в общем случае?

Формулы перехода к барицентрической системе отсчёта не зависят от времени, так что работают всегда.

-- 27.12.2016 20:09:44 --

А почему вы задаёте три точки? Их же у вас только две.