2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 two perpendicular lines
Сообщение10.11.2016, 19:43 


25/07/16
19
Точка $I$ - центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ , точка $H $ - его ортоцентр , точка $K $ - ортоцентр трегольника $BIC$ , точка $T $ - центр описанной окружность треугольника $BKC.$ Докажите,что $TH \perp AI$.

 Профиль  
                  
 
 Re: two perpendicular lines
Сообщение11.11.2016, 01:37 


30/03/08
196
St.Peterburg
ghenghea в сообщении #1167902 писал(а):
Точка $I$ - центр вписанной окружности остроугольного треугольника $ABC$ , точка $H $ - его ортоцентр , точка $K $ - ортоцентр трегольника $BIC$ , точка $T $ - центр описанной окружность треугольника $BKC.$ Докажите,что $TH \perp AI$.


Изображение

$\angle K = \dfrac{1}{2}( \pi- \angle A) $

$\angle BHC = \pi - \angle A \ ,\  \angle BTC= 2\angle K= \pi - \angle A $

$\Rightarrow $ четырехугольник $BHTC$ - вписан в окружность.

$\angle B_1HT = \angle BCT = \dfrac{\pi}{2}-\angle K = \dfrac{1}{2} \angle A = \angle IAC \Rightarrow AI \perp HT$

 Профиль  
                  
 
 Re: two perpendicular lines
Сообщение12.11.2016, 23:00 


11/07/16
801
Задача решается средствами аналитической геометрии с применением математического пакета Мэйпл.
Не уменьшая общности, полагаем $A(0,0),\,B(1,0),\,C(xC,yC)$. Обозначения $xC$ вместо $x_C$ и т. п.
применяются по техническим причинам. Поскольку в Мэйпле $I$ обозначает мнимую единицу, то переопределяем ее.
Применяя мэйпловский пакет geometry (справка http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=geometry&term=geometry)
и команды solve (справка http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=solve&term=solve) для решения уравнений и систем уравнений и
DotProduct (справка http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=LinearAlgebra/DotProduct) для скалярного произведения,
мы составляем уравнения сторон и двух высот треугольника $ABC$.
Затем находим координаты точки $H$. Потом подобным образом вычисляем координаты точек $K,\,I$ и $T$. Наконец, находим
скалярное произведение $AI$ и $HT$, которое после упрощения равно нулю. См. подробности в рабочем листе Мэйпла,
экспортированном как PDF файл https://www.dropbox.com/s/80jo5ydqutisit1/geometry.pdf?dl=0. Кстати, условие остроугольности представляется излишним. В приведенных вычислениях для конкретного тупоугольного треугольника с $C(1/2,1/8)$ нет никаких особенностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: two perpendicular lines
Сообщение13.11.2016, 00:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Markiyan Hirnyk в сообщении #1168462 писал(а):
Задача решается средствами аналитической геометрии с применением математического пакета Мэйпл.
А Ваш Мэйпл способен заметить, что в случае $AB=AC$ точки $T$ и $H$ совпадают? Как он в этом случае понимает перпендикулярность? Я понимаю, что это же замечание относится и к красивому решению от Sergic Primazon, но с Мэйпл ситуация в принципе другая. Если Мэйпл не сообщает Вам о вырожденных случаях, значит качественную картину Вы должны отслеживать самостоятельно и приводить не только бумажку с машинным кодом, но и убедительные рассуждения.

 Профиль  
                  
 
 Re: two perpendicular lines
Сообщение13.11.2016, 09:50 


11/07/16
801
grizzly в сообщении #1168479 писал(а):
А Ваш Мэйпл способен заметить, что в случае $AB=AC$ точки $T$ и $H$ совпадают?

Да.
grizzly в сообщении #1168479 писал(а):
Как он в этом случае понимает перпендикулярность?

Согласно Вики
Цитата:
Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.

 i  Lia: Оформляйте ссылки.

 Профиль  
                  
 
 Re: two perpendicular lines
Сообщение13.11.2016, 11:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Markiyan Hirnyk
Сформулируйте, пожалуйста, словами, как Вы поняли вопрос обсуждаемой геометрической задачи:
ghenghea в сообщении #1167902 писал(а):
Докажите,что $TH \perp AI$.
И, если не сложно, дайте ссылку на какой-нибудь учебник по геометрии, в котором было бы отражено Ваше с Мэйплом понимание перпендикулярности прямых.

 Профиль  
                  
 
 Разъяснение
Сообщение13.11.2016, 11:33 


11/07/16
801
В моем ответе показывается перпендикулярность векторов. Перпендикулярность прямых в плоскости - это другое понятие. Формулировка обсуждаемой задачи в этом месте не точна.

 Профиль  
                  
 
 Re: two perpendicular lines
Сообщение13.11.2016, 11:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6328
Markiyan Hirnyk в сообщении #1168521 писал(а):
Формулировка обсуждаемой задачи в этом месте не точна.
Вы в этом правы -- формулировка каждой задачи должна начинаться со строгой аксиоматики и введения / расшифровки всех необходимых определений и обозначений. Иначе как использовать Мэйпл?
Markiyan Hirnyk в сообщении #1168521 писал(а):
В моем ответе ...
Разве это Ваше решение, а не Мэйпл? Я уверен, что если бы Вы решали задачу, Вы бы сперва уточнили у ТС правильное понимание неточной формулировки.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group