2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение23.10.2016, 11:49 


22/10/16
8
Условие:
Плотность жидкости $\rho$. В начальный момент она заполняет вертикальный участок длины $l$ в тонкой L-образной трубке. Найдите, как зависит от времени высота уровня жидкости. Найдите распределение давления в момент, когда высота столба уменьшится наполовину.
Ответ:
$$h(t) = l\cos(t\sqrt{\frac{g}{l}})$$
$p = \frac{g x\rho}{2}$ в вертикальной части трубки, $p = \frac{g y\rho}{2}$ в горизонтальной части трубки.
Изображение
Пробовал записать уравнение Бернулли, но посмотрев ответ понял, что не все так просто. Не понимаю откуда этот косинус. Ещё вводит в ступор то, что проекция скорости(производная $h(x)$) выходит отрицательная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение23.10.2016, 12:04 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
vzvlad в сообщении #1162156 писал(а):
Ещё вводит в ступор то, что проекция скорости(производная h(x)) выходит отрицательная.
А почему она должна быть положительная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение23.10.2016, 12:17 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
vzvlad
Обычная учебная задачка, чего бы ее в олимпиадные?
Запишите закон сохранения энергии и поглядите, что там за уравнение получается.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение23.10.2016, 12:31 
Админ форума
Аватара пользователя


19/03/10
8952
 i  Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение23.10.2016, 19:06 
Заслуженный участник


05/02/11
1270
Москва
Вот если её раскрутить вокруг вертикальной оси, находящейся справа от вертикального колена..
Тогда можно найти равновесное положение. Или, например, частоту колебаний..малых, наверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение23.10.2016, 19:13 


22/10/16
8
warlock66613
Если ось направлена вниз, то отрицательная проекция на нее означала бы, что вода движется вверх, или я что-то упустил?
DimaM
$mgl = mgh + \frac{mv^2}{2}$
$h = l -\frac{v^2}{2g}$
Не хватает уравнений. Или я не понимаю чего. Что дальше, подскажите. Может можно выразить $v$ через $h$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение23.10.2016, 19:15 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
vzvlad, проекция чего?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение23.10.2016, 19:23 


22/10/16
8
warlock66613, скорости

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение23.10.2016, 19:32 
Заслуженный участник


02/08/11
6874
vzvlad, у вас есть зависимость высоты столба жидкости от времени. Высота - это, конечно же, скалярная величина, равно как и её производная. Так какую скорость вы проецируете и как она связана с производной высоты столба по времени, то есть (согласно физическому смыслу производной) скоростью роста высоты столба жидкости?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение23.10.2016, 19:54 


22/10/16
8
warlock66613, теперь понял. Производная - скорость изменения высоты столбца жидкости, а не скорость ее(жидкости) движения. И эта скорость должна быть отрицательной, так как уровень воды уменьшается. Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение24.10.2016, 07:17 
Заслуженный участник


28/12/12
7740
vzvlad в сообщении #1162311 писал(а):
$mgl = mgh + \frac{mv^2}{2}$
Не хватает уравнений. Или я не понимаю чего. Что дальше, подскажите. Может можно выразить $v$ через $h$?

Дальше следует заметить, что в вашему уравнении буква $m$ в разных слагаемых обозначает разные величины (в первом и третьем одну, во втором - другую).
Надо исправить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение24.10.2016, 17:49 


22/10/16
8
DimaM, да действительно. Тогда вот так:
$m_h = m\frac{h}{l}$
$mgl = m\frac{h}{l}gh + \frac{mv^2}{2}$
$h=\sqrt{l(l-\frac{v^2}{2g})}$
Но, всё равно не пойму, что дальше.

Я имею функцию $h(v)$ и хочу получить из неё $h(t)$. Я должен записать еще одно уравнение(какое?), или есть какой-то математический способ связать эти две функции?

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение24.10.2016, 19:06 


22/10/16
8
Я правильно понимаю, что если выразить $v$ как $h'(t)$, то выйдет дифференциальное уравнение, из которого можно найти $h(t)$. Но у меня его решить не выходит, а тут ответ не совпадает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение24.10.2016, 20:23 


28/06/13
48
Интересно, судя по ответу, данная трубка работает как идеальный маятник.

Правда непонятно за счет чего вода будет подниматься вверх...

 Профиль  
                  
 
 Re: Движение жидкости в L-образной трубке
Сообщение24.10.2016, 21:17 


22/10/16
8
the_jack, как я понял, область определения функции - $[0; \sqrt{\frac{l}{g}}]$. Вот если трубку продолжить до U-образной, то может быть.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group