Движение жидкости в L-образной трубке

[vzvlad]

Условие:
Плотность жидкости $\rho$. В начальный момент она заполняет вертикальный участок длины $l$ в тонкой L-образной трубке. Найдите, как зависит от времени высота уровня жидкости. Найдите распределение давления в момент, когда высота столба уменьшится наполовину.
Ответ:

$$h(t) = l\cos(t\sqrt{\frac{g}{l}})$$

$p = \frac{g x\rho}{2}$ в вертикальной части трубки, $p = \frac{g y\rho}{2}$ в горизонтальной части трубки.

Пробовал записать уравнение Бернулли, но посмотрев ответ понял, что не все так просто. Не понимаю откуда этот косинус. Ещё вводит в ступор то, что проекция скорости(производная $h(x)$) выходит отрицательная.

[warlock66613]

vzvlad в сообщении #1162156 писал(а):

Ещё вводит в ступор то, что проекция скорости(производная h(x)) выходит отрицательная.

А почему она должна быть положительная?

[DimaM]

vzvlad
Обычная учебная задачка, чего бы ее в олимпиадные?
Запишите закон сохранения энергии и поглядите, что там за уравнение получается.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Олимпиадные задачи (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[dovlato]

Вот если её раскрутить вокруг вертикальной оси, находящейся справа от вертикального колена..
Тогда можно найти равновесное положение. Или, например, частоту колебаний..малых, наверное.

[vzvlad]

warlock66613
Если ось направлена вниз, то отрицательная проекция на нее означала бы, что вода движется вверх, или я что-то упустил?
DimaM
$mgl = mgh + \frac{mv^2}{2}$
$h = l -\frac{v^2}{2g}$
Не хватает уравнений. Или я не понимаю чего. Что дальше, подскажите. Может можно выразить $v$ через $h$?

[warlock66613]

vzvlad, проекция чего?

[vzvlad]

warlock66613, скорости

[warlock66613]

vzvlad, у вас есть зависимость высоты столба жидкости от времени. Высота - это, конечно же, скалярная величина, равно как и её производная. Так какую скорость вы проецируете и как она связана с производной высоты столба по времени, то есть (согласно физическому смыслу производной) скоростью роста высоты столба жидкости?

[vzvlad]

warlock66613, теперь понял. Производная - скорость изменения высоты столбца жидкости, а не скорость ее(жидкости) движения. И эта скорость должна быть отрицательной, так как уровень воды уменьшается. Спасибо.

[DimaM]

vzvlad в сообщении #1162311 писал(а):

$mgl = mgh + \frac{mv^2}{2}$
Не хватает уравнений. Или я не понимаю чего. Что дальше, подскажите. Может можно выразить $v$ через $h$?

Дальше следует заметить, что в вашему уравнении буква $m$ в разных слагаемых обозначает разные величины (в первом и третьем одну, во втором - другую).
Надо исправить.

[vzvlad]

DimaM, да действительно. Тогда вот так:
$m_h = m\frac{h}{l}$
$mgl = m\frac{h}{l}gh + \frac{mv^2}{2}$
$h=\sqrt{l(l-\frac{v^2}{2g})}$
Но, всё равно не пойму, что дальше.

Я имею функцию $h(v)$ и хочу получить из неё $h(t)$. Я должен записать еще одно уравнение(какое?), или есть какой-то математический способ связать эти две функции?

[vzvlad]

Я правильно понимаю, что если выразить $v$ как $h'(t)$, то выйдет дифференциальное уравнение, из которого можно найти $h(t)$. Но у меня его решить не выходит, а тут ответ не совпадает.

[the_jack]

Интересно, судя по ответу, данная трубка работает как идеальный маятник.

Правда непонятно за счет чего вода будет подниматься вверх...

[vzvlad]

the_jack, как я понял, область определения функции - $[0; \sqrt{\frac{l}{g}}]$. Вот если трубку продолжить до U-образной, то может быть.