Доказательство утверждения из школьной алгебры

[Simple Fairy]

Th. Если система является симметричной, т.е. если

$$f(y,x)=f(x,y)$$

и

$$g(x,y) = g(y,x),$$

(иными словами переходит сама в себя при одновременной замене x на y и y на x), то любую такую систему можно представить как систему двух переменных от

$$v = x+y$$

и

$$t = xy.$$

P.S. Понятно, что любые степенные функции одинаковой степени раскладываются:

$$x^2+y^2 = (x+y)^2-2xy$$

$$ x^3+y^3 = (x+y)^3-3xy(x+y)$$

и так далее.
С интуитивной точки зрении понятно, почему это происходит все слагаемые представляют собой суммой тех или иных степеней и по разложению степени либо будут равняться друг другу(в случае

$$(x+y)^n$$

$$n \mod 2 = 0,$$

а если же нечетная, то там будет группироваться случае, когда

$$x^ny^{n-1}+x^{n-1}y^n = x^{n-1}y^{n-1}(x+y).$$

P.S.S Пример симметричной системы. (Хотелось бы обобщить док-во для любой системы с любыми функциями и достаточно строго, хотя бы направление в котором стоит думать)

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x^2y+xy^2=2-2x-2y \\ x+y+5+xy=0\\ \end{array} \right.$$

[Karan]

Наберите все формулы в TeX, и приведите попытки решения. "Мыслей нет" - это не попытки. Попытки - это когда Вы пробовали решать задачу, написали какие-то формулы, но доказательства не получилось. Или посмотрели какие-то частные случаи, но обобщить на общий не смогли. Вот эти попытки и напишите.
Еще непонятно, что такое "представить систему как многочлен".

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Munin]

Simple Fairy в сообщении #1158528 писал(а):

...то любую такую систему можно представить как систему двух переменных от

$$v = x+y$$

и

$$t = xy.$$

Попробуйте выразить в обратную сторону, пару переменных $(x,y)$ через пару переменных $(v,t).$

[Xaositect]

Simple Fairy в сообщении #1158528 писал(а):

С интуитивной точки зрении понятно, почему это происходит все слагаемые представляют собой суммой тех или иных степеней и по разложению степени либо будут равняться друг другу(в случае

$$(x+y)^n$$

$$n \mod 2 = 0,$$

а если же нечетная, то там будет группироваться случае, когда

$$x^ny^{n-1}+x^{n-1}y^n = x^{n-1}y^{n-1}(x+y).$$

Это хорошая идея, ее можно добить. Попробуйте по индкции доказать, что $x^ny^m + x^my^n$ выражается в нужном виде, а потом постройте из них произвольный многочлен.

[Brukvalub]

Simple Fairy в сообщении #1158528 писал(а):

Хотелось бы обобщить док-во для любой системы с любыми функциями

Это вряд ли достижимо.

[Munin]

Я, правда, не вижу условия, что исходная система есть система многочленов. Мне представляется, что там законны и уравнения вида $x+y=|x-y|.$

[Simple Fairy]

Munin в сообщении #1158633 писал(а):

Я, правда, не вижу условия, что исходная система есть система многочленов. Мне представляется, что там законны и уравнения вида $x+y=|x-y|.$

Там где я это увидел - это было утверждение без док-ва, т.к. школьники слишком глупые по мнению автора, чтобы его понять, либо же у него было недостаточно времени. Он утверждал, что это работает для любых симметричных систем, хотелось бы доказательство хотя бы для систем от двух переменных.
P.S. по идее для таких тоже.

[Munin]

Ждём, когда вы выполните хотя бы некоторые из указанных вам вариантов.

[Xaositect]

Для многочленов это часто называется основной теоремой о симметрических многочленах. Поищите, например, на сайте МЦНМО (http://www.mccme.ru/free-books/) есть книга Винберга "Симметрия многочленов", там есть.
Для непрерывных функций это можно доказать приближением многочленами.

[Simple Fairy]

Xaositect в сообщении #1158643 писал(а):

Для многочленов это часто называется основной теоремой о симметрических многочленах. Поищите, например, на сайте МЦНМО (http://www.mccme.ru/free-books/) есть книга Винберга "Симметрия многочленов", там есть.
Для непрерывных функций это можно доказать приближением многочленами.

То что нужно, спасибо. (Нужды в этой теме нет, не знаю, принято тут или нет, но её можно закрыть).

[deep blue]

Пусть мы показали что все симметрические уравнения системы можно переписать с учетом замены $v=x+y$ и $t=xy$.
Надо ли дополнительно доказывать что представление уравнений с учетом такой замены - однозначно (то есть возможно только единственным образом)? Похоже что да. Иначе может измениться множество решений системы.
Например, рассмотрим систему из одного уравнения $u^2=v+1$.
После замены $u=x+y$ и $v=(x+y)^2$ мы меняем множество решений системы и получаем 0=1. Это происходит из-за того что многочлены $x+y$ и $(x+y)^2$ связаны алгебраической зависимостью. А то что многочлены $x+y$ и $xy$ алгебраически не связаны вроде надо доказывать дополнительно.

[jmar4]

Munin в сообщении #1158598 писал(а):

Simple Fairy в сообщении #1158528 писал(а):

...то любую такую систему можно представить как систему двух переменных от

$$v = x+y$$

и

$$t = xy.$$

Попробуйте выразить в обратную сторону, пару переменных $(x,y)$ через пару переменных $(v,t).$

Я выразил, получилось $ y = (t \pm \sqrt{t^2-8v}) / 2 ; x = (t \mp \sqrt{t^2-8v}) / 2$, но как это помогает в доказательстве?

[vpb]

jmar4 в сообщении #1303470 писал(а):

но как это помогает в доказательстве?

Если эти выражения подставить в "симметричный" многочлен от $x$ и $y$, потом перемножить-раскрыть скобки-упростить, получится многочлен от $u$ и $v$. Но такой способ, вообще говоря, очень трудоемкий (а когда переменных не две, а пять или больше, невозможен в принципе). Канонический способ другой, см. ссылку на книжку Винберга выше.