2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 гипотеза о продолжении ряда
Сообщение17.08.2016, 20:44 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Помогите, пожалуйста, найти ошибку в утверждении:
$$\zeta(\sigma)=\begin{cases}
\sum\limits_{1}^{\infty}\frac{(-1)^{\left\lfloor n^{1-\sigma}\right\rfloor}}{n}&\text{если $\sigma<1$}\\
\sum\limits_{1}^{\infty} \frac{1}{n^{\sigma}},&\text{если $\sigma>1$}
\end{cases}$$
где $\zeta$ - дзета-функция Римана.
В области, примыкающей к единице слева, сумма ряда стремится к $-\infty$, что хорошо, но как там в других точках (даже целых) мне неизвестно.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.08.2016, 21:43 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- Неинформативный заголовок,
- Отсутствует предмет обсуждения,
- Вы это утверждаете или Вы об этом спрашиваете?

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение19.08.2016, 09:18 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение19.08.2016, 15:12 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
bayak
А откуда взялась верхняя формула?
bayak в сообщении #1144824 писал(а):
сумма ряда стремится к $-\infty$, что хорошо,

Разве? И чем это мобыть хорошо????
Для $\sigma \in (0,1)$ ряд сходится (в задачнике Демидовича есть этот пример для $\sigma =\frac{1}{2}$).

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 18:06 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
DeBill, формула взялась из головы, а под "хорошестью" имелось в виду совпадение суммы ряда слева от единицы с асимптотическим поведением дзета-функции Римана. А как там в задачнике предлагается решать эту задачу? Или может подскажете на какой странице задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 18:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1916
Москва
bayak в сообщении #1145985 писал(а):
Или может подскажете на какой странице задача?

Задача №№2672, 2687 (более общий случай) (стр. 262, 263, 13 издание, 1997)

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 18:33 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Metford, спасибо. Посмотрел, но там просят исследовать на сходимость, а хотелось бы найти сумму.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 19:05 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
bayak
Сходимость: надо сложить куски ряда с одним знаком. Для $\sigma = \frac{1}{2}$: это отрезок гармонического ряда от $n^2$ до $(n+1)^2$, его сумма примерно равна $\ln((n+1)^2) - \ln(n^2) \sim \frac{2}{n}$. Далее - по Лейбницу.
Однако явно сосчитать сумму - будет весьма затруднительно.
И вообще, вызывает серьезные сомнения непрерывная зависимость Вашей суммы от параметра $\sigma$. Скажем, в той же точке $\sigma = \frac{1}{2}$: вроде бы, предел слева - не равен тому, чего надо....

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 19:32 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
DeBill в сообщении #1145990 писал(а):
bayak
Сходимость: надо сложить куски ряда с одним знаком. Для $\sigma = \frac{1}{2}$: это отрезок гармонического ряда от $n^2$ до $(n+1)^2$
Уже тут не понял. Как четность целой части $\sqrt{n}$ связана с указанным интервалом? Хотя нет, понял.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 20:42 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
У меня получается, что в данном частном случае ($\sigma=\frac{1}{2}$) сумма равна сумме: $$\sum\limits_{1}^{\infty}2\ln\frac{4n^2-1}{4n^2}$$
которую наверно уже можно вычислить.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 21:42 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Однако это приблизительная сумма. Точное значение равно сумме:
$$\sum\limits_{n=1}^{n=\infty}\left(\sum\limits_{(2n)^2}^{(2n+1)^2-1}\frac{1}{k}-\sum\limits_{(2n-1)^2}^{(2n)^2-1}\frac{1}{k}\right)$$

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение22.08.2016, 22:58 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
DeBill в сообщении #1145990 писал(а):
предел слева - не равен тому, чего надо....

Нет, слева, видимо, непрерывность есть. Нет - справа.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение23.08.2016, 18:32 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
DeBill в сообщении #1146051 писал(а):
DeBill в сообщении #1145990 писал(а):
предел слева - не равен тому, чего надо....

Нет, слева, видимо, непрерывность есть. Нет - справа.

Что-то не пойму как Вы это увидели. Кроме того, так и остался невыясненным вопрос о значении нашей суммы в точке $\sigma=\frac{1}{2}$. Кстати, а какое значение принимает в точке $\sigma=\frac{1}{2},t=0$ дзета-функция Римана?

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение23.08.2016, 23:45 
Заслуженный участник


10/01/16
2318
bayak
Как мне кажется, из точной формулы для Вашей функции следует, что при $\sigma$ чуть большей чем $\frac{1}{2}$, разница между значением в точке $\frac{1}{2}$ ,будет равна знакопеременной сумме обратных квадратов (из Вашей формулы, в скобке остаются первые слагаемые из каждой суммы). А это, кстати, есть значение "знакопеременной дзета-функции" в точке 2. Видимо, так же будет и в точках $\sigma =\frac{n-1}{n}$ : разрыв (скачок справа) будет равен значению той же функции в точке $n$.
Мораль: в силу разрывности, Ваша функция не есть дзета. Однако, с ней - достаточно хитрым образом - связана.

-- 24.08.2016, 00:47 --

bayak в сообщении #1146184 писал(а):
остался невыясненным вопрос о значении нашей суммы в точке $\sigma=\frac{1}{2}$

Почему? Вы же привели точную формулу.

 Профиль  
                  
 
 Re: гипотеза о продолжении ряда
Сообщение24.08.2016, 19:57 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
DeBill в сообщении #1146229 писал(а):
из Вашей формулы, в скобке остаются первые слагаемые из каждой суммы

Это не понятно. Вроде бы при малом шевелении $\sigma$ должны соответствующим образом измениться пределы сумм, а точнее квадрат должен уступить место степени $\frac{1}{1-\sigma}$, но это не означает, что остаются только первые слагаемые.

Что касается несоответствия дзете, то тут достаточно подставить отрицательные целые значения $\sigma$ и мы увидим, что нулевая сумма не получается никогда - тривиальные нули дзеты не получились.
DeBill в сообщении #1146229 писал(а):
Почему? Вы же привели точную формулу.

Так из формулы ещё надо извлечь число.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group