Максимальное количество положительных корней в области.

[TR63]

Lia в сообщении #1144182 писал(а):

Будет лучше всего, если Вы не будете вводить лишних сущностей, то есть понятий. Тех, что есть, должно быть вполне достаточно, чтобы сформулировать Ваше утверждение.

Почти согласна, но не совсем. (Одна сущность всё же понадобится, если не будет контрпримеров.)
Xaositect, гипотезу для сигнатуры (0;2) придётся переформулировать. Предлагаю сначала рассмотреть всё на конкретном примере. Затем наблюдение обобщить.
Имеется задача: для $(k,t)>0$ доказать неравенство

$4kt^3-t^2-18kt+(27k^2+4)\ge0$

Известно, что его достаточно доказать для области $0<t\le2$. $CND=2$. Уравнение можно переписать в виде

$f=t^2+18k-(27k^2-4t^3k-4)=0$

Гипотеза.
Существует область с $CND_1$ такая, что для $0<t<CND_1$ если $D^+(f)<CND$, то $K(D^+(f))\le1$ в этой области.
Для этого конкретного примера доказательство стандартное по методу, предложенному Xaositect.

$f(t+2)=4kt^3+(24k-1)t^2+4(12k-1)t+(27k^2-4k)=0$

Анализ знаков показывает, что

1). При $k<\frac{4}{27}$ $K(D^+(f))\le1$

Т.е., действительно, существует область $0<t<2$, $CND_1=\frac{4}{27}$ такие, что при $0<t<\frac{4}{27}$ $K(D^+(f))\le1$.

Если всё верно, то это наблюдение можно обобщить.
Но это будет слабенькая гипотеза для сигнатуры $(0;2)$. Можно сказать, малоинтересная, потому что $CND_1$ находится внутри интервала, а не на границе. Хотя, можно этот результат попробовать доказать или найти контрпример.
Думаю, для сигнатуры $(1;3)$ гипотеза будет посильнее.
Если замечаний не будет, то продолжу.

Lia, если у Вас есть своя формулировка возникшей гипотезы или законного свойства, предложите, пожалуйста. Будет интересно ознакомиться. Я уже свой вопрос выяснила. Просто, стало интересно. Возможно ли обобщение.

[TR63]

TR63 в сообщении #1144238 писал(а):

Уравнение можно переписать в виде

$f=t^2+18k-(27k^2-4t^3k-4)=0$

Здесь опечатка. Исправляю

TR63 в сообщении #1144238 писал(а):

Уравнение можно переписать в виде

$f=t^2+18kt-(27k^2+4t^3k+4)=0$

[TR63]

TR63 в сообщении #1144238 писал(а):

Имеется задача: для $(k,t)>0$ доказать неравенство

$f(t)=4kt^3-t^2-18kt+(27k^2+4)\ge0$

Известно, что его достаточно доказать для области $0<t\le2$. $CND=2$. Уравнение можно переписать в виде

$f(t)=t^2+18kt-(27k^2+4t^3k+4)=0$

Гипотеза.
Существует область с $CND_1$ такая, что для $0<t<CND_1$ если $D^+(f)<CND$, то $K(D^+(f))\le1$ в этой области.

$f(t+2)=4kt^3+(24k-1)t^2+4(12k-1)t+(27k^2-4k)=0$

Другими словами: для уравнения $f(t)=0$ существует область вблизи нуля, где корней не больших 2 всегда не больше 1. Это очень слабая гипотеза. Можно сформулировать более сильную гипотезу двумя способами: с помощью наблюдения или с помощью метода экстраполяции.
Гипотеза.
В рассматриваемом примере кубическое $f(t)=0$ уравнение может иметь не более одного положительного корня, меньшего 2 (этот результат, если он подтвердится, можно будет обобщить).

Воспользуемся методом наблюдения. Для этого надо вычислить дискриминант кубического уравнения. Здесь прошу помощи привести аналитическое значение дискриминанта, если это можно сделать с помощью вольфрама (я не знаю, как). Я только вижу там, что для уравнения $f(t+2)=0$ количество отицательных корней равно 1. Если бы гипотеза не выполнялась, то их было бы три. Аналитического выражения дискриминанта плюс ещё нечто достаточно для доказательства либо опровержения гипотезы для рассматриваемого примера. (Повторяю просьбу, высказанную ранее: если кому-то известен контрпример к рассматриваемой задаче или к её обобщению, которое нетрудно сделать самостоятельно, приведите, пожалуйста.)

[TR63]

Странно. Вольфрам вычислил дискриминант. Ранее отказывался вычислять длинные выражения.

$D(f(t+2))=\frac{1}{256}(109k^4-5960k^3-263376k^2+805248k-781056)$

$k_1=-31.048$

$k_2=82.797$

Далее, вычисляем на Вольфраме область устойчивости $f(t+2)$. Получаем уравнение:

$27k^3-52k^2+16k-1<0$

$k_1=0.0848$

$k_2=0.279$

$k_3=1.5616$

Рассматривается область $k\ge\frac{4}{27}$.

Действительно, в этой области количество положительных корней $f(t)=0$, не больших 2, не больше одного. Т. е. гипотеза оказалась верной и контрпримеров не будет.

Замечание.
Мы рассмотрели задачу с левым нормальным делителем. Т.е. задачу было достаточно решить для области, расположенной левее $CND=2$.
А, что будет для задачи с правым нормальным делителем? Имеется такой пример. Если замечаний не будет, то, возможно, рассмотрю.

[Xaositect]

Я ничего не понял в этом Вашем конкретном примере. Я не вижу, как Вы вообще используете этот квадратичное представление, которое пишете.

[TR63]

Xaositect в сообщении #1144663 писал(а):

Я не вижу, как Вы вообще используете этот квадратичное представление, которое пишете.

Конечно, не увидите, потому что я его в рассматриваемом примере не использую. Квадратичное представление, просто, навело на мысль о возможной гипотезе с использованием понятия нормального делителя. (Я ранее писала что доказывать, что-то с использованием квадратичного представления-бред. И решила идти другим путём. Пока рассматриваю конкретные примеры с нормальными делителями. Надеюсь, что, рассматриваемый пример, решила верно. По решению примера есть замечания? Общая гипотеза будет формулироваться методом экстраполяции на основании рассмотренных примеров. Поэтому их решение должно быть стандартным (без гипотез, но в русле предварительно выдвинутой гипотезы; посмотрите внимательнее, она в примере сформулирована).
Никаких гипотез вообще предлагаю больше не рассматривать.
Прошу проверить, верно ли решён вопрос о количестве корней уравнения $f(t)=0$ в области$0<t<2$.

[Xaositect]

TR63 в сообщении #1144664 писал(а):

Конечно, не увидите, потому что я его в рассматриваемом примере не использую. Квадратичное представление, просто, навело на мысль о возможной гипотезе с использованием понятия нормального делителя.

А зачем тогда Вы его пишете?
Зачем Вы вообще написали эти три поста, если все равно все свелось к вычислению дискриминанта?

[Karan]

TR63, сформулируйте, пожалуйста, в новом сообщении гипотезу, которую Вы хотите обсудить. Формулировки должны быть строгими и последовательными, объяснять все необщепринятые обозначения (даже те, которые уже вводились в этой теме), и не содержать не относящихся к делу предложений.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.