2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение25.07.2016, 00:05 
Заслуженный участник


06/04/13
1488
Москва
Здравствуйте.

Помогите, пожалуйста, прояснить несколько вопросов в связи с представлениями группы Лоренца.

1. Я так понимаю, что неприводимые представления группы Лоренца в общем случае могут оказаться приводимыми по отношению к группе трёхмерных вращений. В теории поля это позволяет определить, грубо говоря, в каком представлении какие спины "заложены". И есть утверждение вроде теоремы о сложении моментов, которое позволяет перечислить спины, заложенные в данном представлении. Как всё это формально получить? Или, по крайней мере, где об этом понятно написано и для физиков? Именно понятно, потому как что-то не удаётся мне пробиться через книги, написанные для математиков :-(

2. Если характеризовать представление двумя числами $(j_1,j_2)$ - вроде бы это стандартное обозначение - то оно неэквивалентно представлению $(j_2,j_1)$ (я не беру сейчас случай $j_1=j_2$). Но связь между этими двумя представлениями есть - вот она от меня ускользает. Я нашёл нечто по этому поводу, но не знаю, насколько это вообще имеет отношение к правде. Воспроизводить пока не буду: диковато выглядит. Отдалённо смахивает на то, что написано в книге Гельфанда, Минлоса, Шапиро, но с существенными отличиями - по крайней мере, я это так воспринимаю. Вообще, в этой книге очень непривычные обозначения в отношении представлений группы Лоренца, поэтому при всей полноте воспринимать тяжело (вот про группу вращений читается очень легко).

3. Везде говорится, что по представлению $(1/2,0)\oplus(0,1/2)$ преобразуется лоренцевский 4-вектор. Причём, как правило, в качестве аргумента приводится тот факт, что преобразующаяся по этому представлению величина имеет четыре компоненты. А можно явно убедиться в том, что это, действительно, 4-вектор? Закон преобразования явный получить? Или это очевидно? (За этот вопрос заранее извиняюсь: пока мало его продумывал всерьёз - но решил в перечень добавить).

Не удивлюсь, если где-то это более или менее компактно и просто освещено, но прошло мимо меня :oops: Вопрос специально не стал задавать в математической части форума: испугался тех ответов, которые там могли бы дать :|

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение25.07.2016, 15:41 
Заслуженный участник


23/07/08
7188
Харьков
Знаете ли Вы о такой книге?: Федоров. Группа Лоренца.
Я её не читал и не знаю, поможет ли она Вам, но на всякий случай обращаю внимание.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение25.07.2016, 15:58 
Заслуженный участник


06/04/13
1488
Москва
svv, я не только знаю о ней, она у меня просто есть в бумажном виде (к сожалению, у меня её сейчас под рукой нет). Она при многих достоинствах имеет два недостатка: 1. там местами используются обозначения ещё более изощрённые, чем у Гельфанда, Минлоса и Шапиро; 2. изложение тоже довольно сильно формализованное.

К слову замечу, что у Фёдорова есть в книге интересная деталь (для меня, по крайней мере). Он использует с большим успехом т.н. вектор-параметр при описании группы вращений. В двух словах смысл такой. С бесконечно малыми вращениями связаны антисимметрические матрицы. Такой матрице можно сопоставить дуальный вектор в трёхмерном же пространстве - вот им Фёдоров и пользуется. Выглядит любопытно. Но это в том числе затрудняет чтение из-за непривычности.

В любом случае спасибо, что напомнили про эту книгу. Видимо, если никто больше ничего не посоветует, придётся продираться через неё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение25.07.2016, 16:16 
Заслуженный участник


23/07/08
7188
Харьков
Metford в сообщении #1140060 писал(а):
Такой матрице можно сопоставить дуальный вектор в трёхмерном же пространстве - вот им Фёдоров и пользуется.
А, понятно. Он направлен по оси вращения. Как угловая скорость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение25.07.2016, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2646
ФТИ им. Иоффе СПб
Если еще не видели, гляньте
Новожилов Ю.В. Введение в теорию элементарных частиц
вдруг понравится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение25.07.2016, 16:51 
Заслуженный участник


06/04/13
1488
Москва
amon, про эту книгу слышал, но читать не доводилось. Заглянул в содержание, выглядит многообещающе, спасибо! Я предполагал, что кто-нибудь из физиков написал об этом понятно для своих собратьев - только не знал, кто. Ну, а после этого уже можно будет и что-то более формализованное почитать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение26.07.2016, 20:22 
Заслуженный участник


25/01/11
385
Урюпинск
Metford в сообщении #1139942 писал(а):
Помогите, пожалуйста, прояснить несколько вопросов в связи с представлениями группы Лоренца.

Где про это прочитать, я не знаю. Но если ничего не путаю, то ответы такие:

1. Представление $(j_1,j_2)$ содержит спины от $|j_1-j_2|$ до $j_1+j_2$ через 1, каждый спин содержится один раз.

2. Представление $(j_1,j_2)$ комплексно сопряжено $(j_2,j_1)$ и при пространственных отражениях переходят друг в друга.

3. То, что у Вас написано --- это дираковский спинор (вроде бы). То, что преобразуется как вектор --- это $(1/2,1/2)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение26.07.2016, 20:52 
Заслуженный участник


06/04/13
1488
Москва
espe, да, я ошибся со спинором. У меня тут немного понимания прибавилось - уразумел, что в третьем пункте написал глупость. Но всё равно спасибо, что поправили!

Что касается первого вопроса, то ответ мне известен, но мне интересно, как это получается. Хотя бы на физическом уровне строгости.

А вот со вторым вопросом хотелось бы деталей. Ну, например, мне встречалось сделанное Вами утверждение про комплексно сопряжённое представление (уже не говоря о том, что мне известна мотивировка введения биспинора). Но как-то ускользает точный смысл. Надо понимать это так, что если некоторый набор матриц (для простоты матриц) образует представление $(j_1,j_2)$, то эти же матрицы, но комплексно сопряжённые, образуют представление $(j_2,j_1)$? Мне казалось, что там как-то хитрее устроено...

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение31.07.2016, 14:37 
Заслуженный участник


06/04/13
1488
Москва
В общем, покопался я книгах в трёх-четырёх, кое-что прояснилось. Напишу результаты "изысканий" - мало кому-то будет полезно.

1. Самым простым на мой взгляд оказался такой подход. Представление $(j_1,j_2)$ раскладывается в прямое произведение $(j_1,0)\otimes(0,j_2)$ - в этом несложно убедиться. А то, что эти сомножители представляют собой фактически неприводимые представления группы вращений - практически очевидно. Дальше работает обычное разложение Клебша-Гордана - и ответ готов.

2. Тут достаточно ответа espe. Всё встало на свои места, когда уточнился факт, что комплексно сопряжённые представление задаётся комплексно сопряжёнными матрицами в комплексно сопряжённом же базисе - вот это я упустил из виду сначала. Всё хорошо видно на конкретном примере представлений $(1/2,0)$ и $(0,1/2)$.

3. В первом сообщении я, конечно, перепутал представление. 4-вектор преобразуется по представлению $(1/2,1/2)$. Это, действительно, довольно-таки понятно становится и естественно выглядеть начинает (когда в детали вникнешь...). Но можно и формально показать эту связь. Можно установить взаимно однозначное соответствие между каноническим базисом в пространстве представления $(1/2,1/2)$ и базисом, обычно используемым при работе с векторами, $(1,0,0,0)$, $(0,1,0,0)$, $(0,0,1,0)$ и $(0,0,0,1)$. Соответствие устанавливается рассмотрением результата умножения матриц генераторов группы Лоренца на эти векторы (на соответствующие столбцы точнее). Генераторы удобнее всего выбирать те, в которых алгебра группы Лоренца явно распадается на две алгебры группы вращений.

Теперь более или менее прояснилось. Спасибо всем, кто принял участие! Могу сказать, что все ответы так или иначе пригодились.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение31.07.2016, 15:03 


30/05/13
243
СПб
Metford
Могу посоветовать ещё одну превосходную книгу, написанную как раз для физиков: Румер Ю. Б., Фет А. И. "Теория групп и квантованные поля".

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение31.07.2016, 15:16 
Заслуженный участник


06/04/13
1488
Москва
Nirowulf, спасибо! Эту книгу я знаю, но она меня больше привлекает изложением скорее физической, чем математической стороны дела. Я, наверное, человек очень привередливый: слишком придирчиво отношусь к подбору литературы :-) Хотя это, как правило, оправдывает себя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение31.07.2016, 15:26 


30/05/13
243
СПб
Metford
Ещё есть вот такая статья известного математика М. А. Наймарка. Тоже ориентированна на физиков, возможно, вам понравится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение31.07.2016, 15:43 
Заслуженный участник


06/04/13
1488
Москва
Nirowulf, насколько я понимаю, эта статья впоследствии превратилась в книгу с одноимённым названием. Она была дополнена некоторым сведениями о группе вращений - для полноты, как говорится. И по-моему там не обошлось без дополнений и про группу Лоренца. Я из этой книги кое-что почерпнул для себя, мне она в принципе понравилась - Вы правы. И за ссылку спасибо, исходную статью видеть не доводилось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение31.07.2016, 16:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2646
ФТИ им. Иоффе СПб
Ещё такая книжка есть (для продвинутых пользователей):
Ляховский В.Д., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные частицы.
А для начинающих - Румер Ю.Б. Спинорный анализ [ОНТИ, 1936] (она проще всего того, что тот же автор написал после того)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение31.07.2016, 16:30 
Заслуженный участник


06/04/13
1488
Москва
По-моему половину этой темы спокойно можно перемещать в тему с рекомендуемой литературой. Давайте уж и я тогда добавлю, что у тех же вышеупомянутых Ю.Б. Румера и А.И. Фета есть "Теория унитарной симметрии". На мой взгляд книга вполне хорошая, но это уже не о группе Лоренца.

amon, эта книга мне известна. Что касается спинорного анализа - то до этого я ещё, кажется, не дозрел. Пробовал заглядывать по этому поводу в статью Рашевского (которую не так давно в виде книги переиздали). Но он сразу начинает с алгебры Клиффорда, чего я пока что совершенно не знаю, к сожалению. А самое плохое, что я даже не знаю, насколько мне это нужно знать - или можно обойтись. Можно, конечно, ознакомиться из интереса к чистой математике...

(Оффтоп)

amon в сообщении #1141148 писал(а):
она проще всего того, что тот же автор написал после того

А что не так стало после? И что такое это "после"?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group