2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение31.07.2016, 17:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2821
ФТИ им. Иоффе СПб

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1141152 писал(а):
что такое это "после"?
А Вы поинтересуйтесь биографией Юрия Борисовича Румера. По поводу "что не так". Кто-то из математиков писал, что если лектор на лекции пропускает две тривиальности подряд, то для слушателя это становится неразрешимой проблемой. IMHO, книжки Румера-Фета этим грешат, а книжка 36 года фактически о том-же, но для рабочих и крестьян.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение31.07.2016, 22:57 


07/07/12
158
Замечательно изложено у Michele Maggiore здесь (Chapter 2), впрочем, как и остальные базовые вещи по QFT.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение31.07.2016, 23:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1723
Москва
physicsworks, спасибо! Вот этой книги не видел раньше. Правда, я посмотрел то место, которое меня интересовало - ради чего тема создавалась - на данный момент уже не столь актуально. Мне бы эту книгу пару недель назад! Но я всё равно её внимательно посмотрю - ради остального содержания. Хорошая книга по КТП лишней никогда не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение01.08.2016, 00:17 


07/07/12
158
Metford, я бы рекомендовал эту книгу прочитать всем, прежде чем браться за Пескина и Шредера, Шварца, Вайнберга и др.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение01.08.2016, 00:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1723
Москва
physicsworks, книгу я пока просмотрел по диагонали, впечатление очень благоприятное. Спасибо, что обратили на неё внимание!

(Оффтоп)

надеюсь, её можно читать и тем, кто уже брался за перечисленные Вами книги. Хорошо брался :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение01.08.2016, 02:16 


30/05/13
243
СПб
physicsworks

Большое спасибо за книгу, выглядит интригующе!

amon в сообщении #1141148 писал(а):
Ещё такая книжка есть (для продвинутых пользователей):
Ляховский В.Д., Болохов А.А. Группы симметрии и элементарные частицы.


Раз уж amon вспомнил питерских физиков, то стоит упомянуть ещё одну книгу: Ю. А. Яппа Введение в теорию спиноров и её приложения в физике.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение01.08.2016, 02:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1723
Москва
Nirowulf в сообщении #1141280 писал(а):
стоит упомянуть ещё одну книгу: Ю. А. Яппа Введение в теорию спиноров и её приложения в физике.

Там тоже во первых же строках про алгебру Клиффорда.
Раз уж второй раз об этом речь зашла, скажите, насколько это необходимый математический аппарат для физика? Я вовсе не собираюсь судить предвзято. Хотелось бы знать мнение людей сведущих, чтобы понять, стоит ли отодвинуть что-то на второй-третий план в очереди на изучение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение01.08.2016, 11:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
800
ЦФО, Россия
Metford в сообщении #1141283 писал(а):
Раз уж второй раз об этом речь зашла, скажите, насколько это необходимый математический аппарат для физика?

Если работаете исключительно в четырехмерии, то особой необходимости нет (разве что добавляет ясности в понимании конструкции спинорных представлений малых групп, таких как $SO(3)$, $SO(1,3)$ и т.п.). Необходимость возникает при изучении пространственно-временных и калибровочных симметрий многомерных теорий, например, в супергравитации и теории струн.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение01.08.2016, 14:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1723
Москва
lek, спасибо! Всё равно, наверное, загляну в этот раздел со временем. Просто не в ближайшем времени.

Тут ещё один вопрос между тем возник. Хорошо, размерность представления $(j_1,j_2)$ приходится удваивать с добавлением к собственной группе Лоренца инверсии пространства, если $j_1\neq j_2$. Но допустим, что $j_1=j_2=j$ - тогда размерность увеличивать не нужно. Но как тогда выглядит матрица инверсии пространства? Мне встретилось в одном-единственном месте утверждение, что она будет блочная. Блоки - чередующиеся матрицы: единичная, минус единичная и т.д. Размеры блоков $4j+1$, $4j-1$,... , $1$. Последний блок - просто единица. Но откуда это - не объясняется. Обычная матрица инверсии - для 4-векторов - в эту схему укладывается, но хотелось бы понять происхождение самой схемы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение03.08.2016, 16:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1723
Москва
С инверсией тут не сложилось, ладно - кое-что прояснилось вроде.

Меня сейчас интересует обоснование некоторых деталей описания дираковских полей. Конкретно - перечисление величин, составленных из компонент двух биспиноров $\psi$ и $\psi^+$.

1. В биспиноре две верхние компоненты имеют верхний непунктирный индекс, а две нижние - нижний пунктирный. Если взять, например, 4 том ЛЛ, то там про различие между этими индексами, конечно, сказано. Но потом - когда до дела доходит - то биспинор пишется просто в виде $\begin{pmatrix} \varphi \\ \chi \end{pmatrix}$. Собственно, меня тоже так и учили. А теперь захотелось мне индексную форму записи сохранить - и возник вопрос: а как в индексах выглядит биспинор $\psi^+$?

2. Дальше собираются величины типа $\bar{\psi}\psi$ и иже с ними. Опять-таки, чтобы это получился скаляр группы Лоренца, свободных индексов остаться не должно. Сворачивать пунктирные индексы с непунктирными, естественно, запрещено. Так что в этом месте снова возникает вопрос №1. Но пойдём дальше - по старинке, без индексов. Появляется ещё и псевдоскаляр, 4-вектор и т.д. Хотелось бы не перебирать всё это наугад, а получить автоматически - из разложения Клебша-Гордана. Потому что есть два биспинора, каждый преобразуется по представлению $(1/2,0)\oplus(0,1/2)$. Перемножаю эти два представления, применяю теорему Клебша-Гордана и нахожу две величины типа $(0,0)$, две величины типа $(1/2,1/2)$ и величины типа $(1,0)$ и $(0,1)$. Всё это, конечно, пока по отношению к собственной группе Лоренца - не к полной. Там ещё придётся скаляры - псевдоскаляры различать - но это всё понятно. Непонятна правильная формализация, чтобы все эти величины получились сами. Прямое произведение биспиноров брать, видимо, нельзя: оно превратится в прямые произведения входящих в них спиноров, а это вроде бы не то, что нужно. А как тогда по-другому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение06.08.2016, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1723
Москва
Хотя особого интереса к теме не вижу, всё-таки напишу, к каким выводам пришёл. Есть подозрение, что у меня есть неточности или даже ошибки. Если мне на них укажут, буду признателен. Очень надеюсь, что пунктирные и непунктирные индексы будут различимы при чтении!
Итак, биспинор $\psi$ состоит из двух спиноров $(\phi^n,\chi_{\dot{k}})$. Эрмитово сопряжение фактически изменяет положение и тип индекса (меняет местами верхний и нижний индекс, меняет местами пунктирный и непунктирный индекс).
Таким образом, скаляр $\bar{\psi}\psi$ записывается следующим образом:
$$\bar{\psi}\psi=\varepsilon^{\dot{n}\dot{k}}(\phi^*)_{\dot{n}}\chi_{\dot{k}}+\varepsilon_{nk}(\chi^*)^n\phi^k=$$
$$=\varepsilon^{\dot{n}\dot{k}}\varepsilon_{\dot{n}m}(\phi^*)^m\chi_{\dot{k}}+\varepsilon_{nk}\varepsilon^{n\dot{m}}(\chi^*)_{\dot{m}}\phi^k=$$
$$=\Pi^{\dot{k}}_m(\phi^*)^m\chi_{\dot{k}}+\Pi_k\varepsilon^{\dot{m}}(\chi^*)_{\dot{m}}\phi^k.$$
"Метрическая" матрица
$$\varepsilon^{ik}=\begin{pmatrix}
0 &  -1\\
1 &  0
\end{pmatrix}.$$
Матрица $\Pi$ подбирается, исходя из известного вида $\bar{\psi}\psi$ и известного правила свёртки спиноров:
$$\Pi^{\dot{k}}_m=\begin{pmatrix}
0 &  1\\
1 &  0
\end{pmatrix}.$$

UPD: Следуя совету Munin, всюду заменил индекс $i$ на $n$. Так будет, действительно, лучше читаться.

(Оффтоп)

P.S. Почему проверка формул ругается на символ phi, требуя заменить его символом vaphi? Что за дискриминация?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение06.08.2016, 18:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
63897

(Оффтоп)

Metford в сообщении #1142430 писал(а):
Очень надеюсь, что пунктирные и непунктирные индексы будут различимы при чтении!

Выберите вместо $i$ какую-нибудь другую букву, тогда будет лучше.

Metford в сообщении #1142430 писал(а):
P.S. Почему проверка формул ругается на символ phi, требуя заменить его символом vaphi? Что за дискриминация?

Потому что проверка настроена на людей пониже уровнем. Например, не знающих, как набрать $\varphi,$ и от неумения пишущих просто $\phi.$ Разумеется, это всего лишь рекомендация (а если написано "ошибка", то это сдуру).

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение06.08.2016, 19:26 
Заслуженный участник


25/01/11
385
Урюпинск
Если правильно понял, то ответ такой. В суперсимметрии принято следующее соглашение о суммировании: для неточечных индексов $\varphi\chi\equiv\varphi^a\chi_a$, для точечных: $\bar{\varphi}\bar{\chi}\equiv\bar{\varphi}_{\dot{c}}\bar{\chi}^{\dot{c}}$. Что об этом пишут ЛЛ-4 я не читал.

Дираковский спинор записывается $\Psi\equiv\begin{pmatrix}\varphi_a\\ \bar{\chi}^{\dot{c}}\end{pmatrix},$ дираковски сопряжённый спинор $\bar{\Psi}\equiv(\chi^a,\bar{\varphi}_{\dot{c}}),$ где $\bar{\varphi}_{\dot{a}}\equiv(\varphi_a)^*,$ аналогично для $\chi_a.$ Соотвтственно $\bar{\Psi}\Psi=\chi^a\varphi_a+\bar{\varphi}_{\dot{c}}\bar{\chi}^{\dot{c}}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение06.08.2016, 20:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1723
Москва
espe в сообщении #1142448 писал(а):
Что об этом пишут ЛЛ-4 я не читал.

Там эта часть теории излагается, на мой взгляд, довольно запутанно. Информация распределена по нескольким параграфам вперемешку с физическими соображениями.
espe в сообщении #1142448 писал(а):
Дираковский спинор записывается $\Psi\equiv\begin{pmatrix}\varphi_a\\ \bar{\chi}^{\dot{c}}\end{pmatrix},$ дираковски сопряжённый спинор $\bar{\Psi}\equiv(\chi^a,\bar{\varphi}_{\dot{c}}),$ где $\bar{\varphi}_{\dot{a}}\equiv(\varphi_a)^*,$ аналогично для $\chi_a.$ Соотвтственно $\bar{\Psi}\Psi=\chi^a\varphi_a+\bar{\varphi}_{\dot{c}}\bar{\chi}^{\dot{c}}.$

Я правильно понимаю, что здесь $\bar{\chi}^{\dot{c}}$ - единое обозначение, а в дираковски сопряжённом спиноре черта (или её отсутствие) - это уже обозначение того, кто по отношению к кому комплексно сопряжён? Т.е. просто звёздочку комплексного сопряжения в биспиноре ставить не принято?

 Профиль  
                  
 
 Re: Неприводимые представления группы Лоренца
Сообщение06.08.2016, 20:58 
Заслуженный участник


25/01/11
385
Урюпинск
В принципе да, только в дираковском не совсем комплексное сопряжение. И ещё $\bar{\Psi}\Psi$ --- это скаляр. $\gamma_5$ --- это что-то типа $\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$ и $\bar{\Psi}\gamma_5\Psi=\chi^a\varphi_a-\bar{\varphi}_{\dot{c}}\bar{\chi}^{\dot{c}}$ --- это псевдоскаляр. Аналогично $\bar{\Psi}\gamma_\mu\Psi$ --- вектор, $\bar{\Psi}\gamma_\mu\gamma_5\Psi$ --- псевдовектор, и т.д. $\gamma_\mu=\begin{pmatrix}0&(\sigma_{\mu})_{a\dot{c}}\\ (\bar{\sigma}_\mu)^{\dot{a}c}&0\end{pmatrix},$ $(\sigma_{\mu})_{a\dot{c}}$ --- матрицы Паули.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group