Здравствуйте
Сформулирую такую теорему: если монотонная последовательность
непрерывных числовых функций на счетно компактном топологическом пространстве
поточечно сходится к непрерывной функции
, то сходимость равномерна.
Ясно, что в случае компактного пространства следует рассмотреть
и
. Всякое
будет открыто в
. Кроме того,
. Следовательно,
. Поскольку
компакт,
такая, что
покроет весть
. Отсюда,
.
Догадываюсь, что для счетно компактного пространства стоит взять счетную систему открытых множеств
, покрывающих
, и доказательство проводить по аналогии. Интересно, правильно ли такое рассуждение, и если да, то какими нужно выбрать
?