2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Теорема Дини
Сообщение01.06.2016, 16:36 


29/05/16
34
Здравствуйте

Сформулирую такую теорему: если монотонная последовательность $\{f_n(x)\}$ непрерывных числовых функций на счетно компактном топологическом пространстве $K$ поточечно сходится к непрерывной функции $f(x)$, то сходимость равномерна.

Ясно, что в случае компактного пространства следует рассмотреть $\varphi_n(x)=|f(x)-f_n(x)|$ и $D_n=\{x \in K | \varphi_n(x)<\varepsilon\}$. Всякое $D_n$ будет открыто в $K$. Кроме того, $\{\varphi_n\} \searrow 0$. Следовательно, $\{D_n\}\nearrow$. Поскольку $K$ компакт, $\exists \{D_{n_1}, ..., D_{n_j}\}$ такая, что $D_{n_j}$ покроет весть $K$. Отсюда, $\forall n \geqslant{n_j} \, \, \forall x \in K \, \, |f(x) -{f_n}(x)| ={\varphi _n}(x) < \varepsilon$.

Догадываюсь, что для счетно компактного пространства стоит взять счетную систему открытых множеств $\{G_n\}$, покрывающих $K$, и доказательство проводить по аналогии. Интересно, правильно ли такое рассуждение, и если да, то какими нужно выбрать $G_n$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Дини
Сообщение01.06.2016, 16:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
SCW в сообщении #1127978 писал(а):
для счетно компактного пространства


Напишите здесь определение счётно компактного пространства.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Дини
Сообщение01.06.2016, 16:51 


29/05/16
34
g______d, порядок слов сыграл свою роль. Естественно, следует говорить о счетной системе множеств, покрывающей $K$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Дини
Сообщение01.06.2016, 17:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ну тогда догадайтесь,
SCW в сообщении #1127978 писал(а):
какими нужно выбрать G_n

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.06.2016, 17:10 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
Заключайте формулы в знаки долларов.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение01.06.2016, 17:39 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

 Профиль  
                  
 
 Re: Теорема Дини
Сообщение01.06.2016, 17:43 


29/05/16
34
g______d, закономерно предположить, что $G_n = D_n$, поскольку $n \in \mathbb{N}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group