2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Калибровочная теория без калибровочного поля...
Сообщение07.05.2016, 11:06 


16/03/07
805
Одним из основных принципов современной теории поля считается принцип калибровочной инвариантности Янга-Миллса. Согласно этому принципу теория поля (поля-источники), первоначально инвариантная относительно глобальных калибровочных преобразований, может быть сделана инвариантной относительно локальных калибровочных преобразований методом "удлинения" ковариантной производной теории. Данное "удлинение" осуществляется посредством дополнительного векторного калибровочного поля. В исходный лагранжиан теории добавляется кинетический член нового поля (также же калибровочно инвариантный) и готова замкнутая теория взаимодействующих полей-источников и калибровочного поля. Так построена, например, Стандартная Модель физики элементарных частиц.

В недавно вышедшей статье Махико Судзуки (Mahiko Suzuki) http://arxiv.org/abs/1603.07670 описан новый способ локализации исходной глобальной калибровочной симметрии без использования дополнительного векторного калибровочного поля. Рассмотрим простейший абелев случай теории фермионного поля $\psi$ с лагранжианом Дирака

$$L_0=\frac{i}{2} (\bar{\psi} \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi - \partial_{\mu} \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi)$$

Лагранжиан инвариантен относительно глобальных калибровочных преобразований $\psi \to \psi'=e^{i \alpha} \psi$, где $\alpha$ - действительная константа. Потребовав инвариантности лагранжиана относительно локальных калибровочных преобразований $\psi \to \psi'=e^{i \alpha(x)} \psi$ (здесь $\alpha(x)$ - произвольная дифференцируемая функция координат пространства-времени) мы можем добиться этого через добавку к исходному лагранжиану дополнительного слагаемого, зависящего только от самого поля $\psi$

$$L=\frac{i}{2} (\bar{\psi} \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi - \partial_{\mu} \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi) - \frac{i}{2} \frac{\bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi}{\bar{\psi} \psi} (\bar{\psi} \partial_{\mu} \psi - \partial_{\mu} \bar{\psi} \psi) $$

Данный лагранжиан можно переписать в виде

$$L=\frac{i}{2} (\bar{\psi} \Gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi - \partial_{\mu} \bar{\psi} \Gamma^{\mu} \psi)  $$

где введено обозначение

$$\Gamma^{\mu}=\gamma^{\mu} - \frac{\bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi}{\bar{\psi} \psi} \hat{I} $$

Здесь $\hat{I}$ - единичная матрица $4 \times 4$. Из лагранжиана следуют уравнения поля, напоминающие уравнения поля безмассового Дираковского фермиона, но с новой "гамма-матрицей"

$$ \Gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi = 0, \;\;\; \partial_{\mu} \bar{\psi} \Gamma^{\mu} = 0  $$

Возможно обобщение данной процедуры на неабелев случай (правда Судзуки пишет, что кроме группы $SU(2)$ ему ничего обобщить не удалось).

Смотрю я вот на эту конструкцию и думаю: вот как-бы ее использовать? Что народ думает по этому поводу?

 Профиль  
                  
 
 Re: Калибровочная теория без калибровочного поля...
Сообщение30.09.2016, 21:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
793
ЦФО, Россия
VladTK в сообщении #1121769 писал(а):
В недавно вышедшей статье Махико Судзуки (Mahiko Suzuki) http://arxiv.org/abs/1603.07670
описан новый способ локализации исходной глобальной калибровочной симметрии без использования дополнительного векторного калибровочного поля.

Статья любопытная, но говорить о говорить о каком-либо новом способе локализации симметрии не стоит. Лагранжиан имеет вполне стандартный вид
$$
L=\frac{i}{2} \left(\bar{\psi} \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi+\frac{\bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi}{\bar{\psi} \psi} \partial_{\mu} \bar{\psi} \psi\right)+h.c.
=\frac{i}{2} \bar{\psi} \gamma^{\mu} \left(\partial_{\mu}+A_{\mu}}\right) \psi+h.c.,\quad\text{где}\quad A_{\mu}=\frac{ \psi\partial_{\mu} \bar{\psi}}{\bar{\psi}\psi}.
$$
При этом возникает дополнительная проблема, связанная с физической интерпретацией поля $A_{\mu}$. Любопытно другое. В рассматриваемом случае замены $\partial_{\mu}\to D_{\mu}$ и $\gamma_{\mu}\to \Gamma_{\mu}$ приводят к одному лагранжиану. Интересно было бы найти выражение (если оно существует) для $\Gamma_{\mu}$ в случае произвольного калибровочнго поля $A_{\mu}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Калибровочная теория без калибровочного поля...
Сообщение02.10.2016, 14:08 


16/03/07
805
lek в сообщении #1156169 писал(а):
Статья любопытная, но говорить о говорить о каком-либо новом способе локализации симметрии не стоит...


Ну почему-же не стоит? Ведь в стандартной процедуре Янга-Миллса у системы увеличивается число степеней свободы, а тут не меняется (а возможно даже уменьшается).

lek в сообщении #1156169 писал(а):
...Любопытно другое. В рассматриваемом случае замены $\partial_{\mu}\to D_{\mu}$ и $\gamma_{\mu}\to \Gamma_{\mu}$ приводят к одному лагранжиану. Интересно было бы найти выражение (если оно существует) для $\Gamma_{\mu}$ в случае произвольного калибровочнго поля $A_{\mu}$.


Мне кажется такого $\Gamma_{\mu}$ не существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Калибровочная теория без калибровочного поля...
Сообщение03.10.2016, 20:43 


09/09/15
36
А мне отличие $\Gamma^\mu$ от $\gamma^\mu$ напоминает отличие тензора Эйнштейна $R_\mu_\nu - \frac{1}{2}R g_\mu_\nu$ от $R_\mu_\nu$. Как известно, если пространство двухмерное, то материя пропадает. Может в большом объединении возникнет какой-то критерий (аналог сохранения тензора энергии-импульса), который заставит подобным образом "подправить" $\gamma^\mu$, что-бы убрать калибровочные бозоны какой-то подгруппы.
PS: не специалист в ФЭЧ, просто отвечаю на вопрос топикстартера.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: profrotter, Jnrty, Парджеттер, Pphantom, whiterussian, Aer, photon, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group