Калибровочная теория без калибровочного поля...

[VladTK]

Одним из основных принципов современной теории поля считается принцип калибровочной инвариантности Янга-Миллса. Согласно этому принципу теория поля (поля-источники), первоначально инвариантная относительно глобальных калибровочных преобразований, может быть сделана инвариантной относительно локальных калибровочных преобразований методом "удлинения" ковариантной производной теории. Данное "удлинение" осуществляется посредством дополнительного векторного калибровочного поля. В исходный лагранжиан теории добавляется кинетический член нового поля (также же калибровочно инвариантный) и готова замкнутая теория взаимодействующих полей-источников и калибровочного поля. Так построена, например, Стандартная Модель физики элементарных частиц.

В недавно вышедшей статье Махико Судзуки (Mahiko Suzuki) http://arxiv.org/abs/1603.07670 описан новый способ локализации исходной глобальной калибровочной симметрии без использования дополнительного векторного калибровочного поля. Рассмотрим простейший абелев случай теории фермионного поля $\psi$ с лагранжианом Дирака

$$L_0=\frac{i}{2} (\bar{\psi} \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi - \partial_{\mu} \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi)$$

Лагранжиан инвариантен относительно глобальных калибровочных преобразований $\psi \to \psi'=e^{i \alpha} \psi$, где $\alpha$ - действительная константа. Потребовав инвариантности лагранжиана относительно локальных калибровочных преобразований $\psi \to \psi'=e^{i \alpha(x)} \psi$ (здесь $\alpha(x)$ - произвольная дифференцируемая функция координат пространства-времени) мы можем добиться этого через добавку к исходному лагранжиану дополнительного слагаемого, зависящего только от самого поля $\psi$

$$L=\frac{i}{2} (\bar{\psi} \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi - \partial_{\mu} \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi) - \frac{i}{2} \frac{\bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi}{\bar{\psi} \psi} (\bar{\psi} \partial_{\mu} \psi - \partial_{\mu} \bar{\psi} \psi) $$

Данный лагранжиан можно переписать в виде

$$L=\frac{i}{2} (\bar{\psi} \Gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi - \partial_{\mu} \bar{\psi} \Gamma^{\mu} \psi) $$

где введено обозначение

$$\Gamma^{\mu}=\gamma^{\mu} - \frac{\bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi}{\bar{\psi} \psi} \hat{I} $$

Здесь $\hat{I}$ - единичная матрица $4 \times 4$. Из лагранжиана следуют уравнения поля, напоминающие уравнения поля безмассового Дираковского фермиона, но с новой "гамма-матрицей"

$$ \Gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi = 0, \;\;\; \partial_{\mu} \bar{\psi} \Gamma^{\mu} = 0 $$

Возможно обобщение данной процедуры на неабелев случай (правда Судзуки пишет, что кроме группы $SU(2)$ ему ничего обобщить не удалось).

Смотрю я вот на эту конструкцию и думаю: вот как-бы ее использовать? Что народ думает по этому поводу?

[lek]

VladTK в сообщении #1121769 писал(а):

В недавно вышедшей статье Махико Судзуки (Mahiko Suzuki) http://arxiv.org/abs/1603.07670
описан новый способ локализации исходной глобальной калибровочной симметрии без использования дополнительного векторного калибровочного поля.

Статья любопытная, но говорить о говорить о каком-либо новом способе локализации симметрии не стоит. Лагранжиан имеет вполне стандартный вид

$$ L=\frac{i}{2} \left(\bar{\psi} \gamma^{\mu} \partial_{\mu} \psi+\frac{\bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi}{\bar{\psi} \psi} \partial_{\mu} \bar{\psi} \psi\right)+h.c. =\frac{i}{2} \bar{\psi} \gamma^{\mu} \left(\partial_{\mu}+A_{\mu}}\right) \psi+h.c.,\quad\text{где}\quad A_{\mu}=\frac{ \psi\partial_{\mu} \bar{\psi}}{\bar{\psi}\psi}. $$

При этом возникает дополнительная проблема, связанная с физической интерпретацией поля $A_{\mu}$. Любопытно другое. В рассматриваемом случае замены $\partial_{\mu}\to D_{\mu}$ и $\gamma_{\mu}\to \Gamma_{\mu}$ приводят к одному лагранжиану. Интересно было бы найти выражение (если оно существует) для $\Gamma_{\mu}$ в случае произвольного калибровочнго поля $A_{\mu}$.

[VladTK]

lek в сообщении #1156169 писал(а):

Статья любопытная, но говорить о говорить о каком-либо новом способе локализации симметрии не стоит...

Ну почему-же не стоит? Ведь в стандартной процедуре Янга-Миллса у системы увеличивается число степеней свободы, а тут не меняется (а возможно даже уменьшается).

lek в сообщении #1156169 писал(а):

...Любопытно другое. В рассматриваемом случае замены $\partial_{\mu}\to D_{\mu}$ и $\gamma_{\mu}\to \Gamma_{\mu}$ приводят к одному лагранжиану. Интересно было бы найти выражение (если оно существует) для $\Gamma_{\mu}$ в случае произвольного калибровочнго поля $A_{\mu}$.

Мне кажется такого $\Gamma_{\mu}$ не существует.

[vlad9486]

А мне отличие $\Gamma^\mu$ от $\gamma^\mu$ напоминает отличие тензора Эйнштейна $R_\mu_\nu - \frac{1}{2}R g_\mu_\nu$ от $R_\mu_\nu$. Как известно, если пространство двухмерное, то материя пропадает. Может в большом объединении возникнет какой-то критерий (аналог сохранения тензора энергии-импульса), который заставит подобным образом "подправить" $\gamma^\mu$, что-бы убрать калибровочные бозоны какой-то подгруппы.
PS: не специалист в ФЭЧ, просто отвечаю на вопрос топикстартера.