Коммутирующие подстановки

[elfirina]

Здравствуйте,
Проходила недавно тест и встретилась с заданием, типа:
Найдите число подстановок на 15 элементах, коммутирующих с подстановкой. И далее дана подстановка.
Подскажите, что такое коммутирующие подстановки?
Есть предположение, что нужно найти число циклов, и посмотреть, как можно данные циклы записать. Но я не уверена

[Someone]

И что?

Напишите точное условие задачи, изложив собственные попытки решения. Не забудьте, что формулы у нас положено писать в формате \LaTeX. И вообще, внимательно прочитайте правила форума, в особенности, относящиеся к разделам "Помогите решить / разобраться".

-- Ср апр 20, 2016 21:59:16 --

elfirina в сообщении #1117034 писал(а):

Подскажите, что такое коммутирующие подстановки?

Подстановки $a$ и $b$ называются коммутирующими, если $ab=ba$.
Вы в учебник или в конспект лекций заглядывали?

[elfirina]

Подстановка имеет вид:

$ A = \left( \begin{array}{@{}*{15}{c}@{}} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15\\ 3 & 2 & 14 & 7 & 4 & 6 & 15 & 8 & 5 & 11 & 1 & 12 & 13 & 10 & 9\\ \end{array} \right ) $

Можно значит ее записать, как:
$ A = \left ( 1 \;3 \; 14 \;10 \;11 \; \right ) \cdot(\left 2 \right) \cdot \left( 4 \; 7 \; 15 \; 9 \; 5 \; \right) \cdot \left( 6\right) \cdot \left( 8 \right) \cdot \left( 12 \right) \cdot \left( 13\right) $

Но я так поняла, это неважно...

Подскажите, как искать то число коммутирующих подстановок?

-- 20.04.2016, 22:49 --

Someone в сообщении #1117040 писал(а):

Подстановки $a$ и $b$ называются коммутирующими, если $ab=ba$.
Вы в учебник или в конспект лекций заглядывали?

Т.е. выходит что нужно найти число подстановок $B$ таких, что для любого $i$ :

$$ A(B(i)) = B(A(i)) $$

А дальше, я не знаю(

[elfirina]

elfirina в сообщении #1117049 писал(а):

Подстановка имеет вид:

Можно значит ее записать, как:
$ A = \left ( 1 \;3 \; 14 \;10 \;11 \; \right ) \cdot(\left 2 \right) \cdot \left( 4 \; 7 \; 15 \; 9 \; 5 \; \right) \cdot \left( 6\right) \cdot \left( 8 \right) \cdot \left( 12 \right) \cdot \left( 13\right) $

Продолжая эту тему:
цикл $ \left ( 1 \;3 \; 14 \;10 \;11 \; \right ) $ - можно записать 5 способами,
цикл $ \left( 4 \; 7 \; 15 \; 9 \; 5 \; \right) $ - тоже 5-ю.
Т.е. получается количество подстановок, коммутирующих с исходной равно $ N = 5 \cdot 5 = 25 $

Подскажите, это верно?

[Brukvalub]

Для подсчета можно доказать и использовать следующие факты:
1. Подстановка $f$ коммутирует с подстановкой $g$ тогда и только тогда, когда $g^{-1}fg=f$ , то есть $f$ сопряжена сама с собой относительно $g$ .
2. Если $f$ разложена в произведение независимых циклов, то подстановка $g^{-1}fg$ имеет ту же цикловую структуру, но внутри циклов каждый элемент $i$ меняется на $g(i)$ .

[elfirina]

Brukvalub в сообщении #1117088 писал(а):

Для подсчета можно доказать и использовать следующие факты:
1. Подстановка $f$ коммутирует с подстановкой $g$ тогда и только тогда, когда $g^{-1}fg=f$ , то есть $f$ сопряжена сама с собой относительно $g$ .
2. Если $f$ разложена в произведение независимых циклов, то подстановка $g^{-1}fg$ имеет ту же цикловую структуру, но внутри циклов каждый элемент $i$ меняется на $g(i)$ .

Я правильно поняла, что если доказать эти факты, то можно подсчитать количество подстановок, так, как я сделала это выше?

[Brukvalub]

Беда в том, что я не понял, как вы подсчитали что-то там выше. Например, что означают вот эти слова:

elfirina в сообщении #1117087 писал(а):

цикл $ \left ( 1 \;3 \; 14 \;10 \;11 \; \right ) $ - можно записать 5 способами,
цикл $ \left( 4 \; 7 \; 15 \; 9 \; 5 \; \right) $ - тоже 5-ю.

?
?

[elfirina]

т.е. $( 1\; 3\; 14\; 10\; 11)$ можно записать еще:
$(3\; 14\; 10\; 11\; 1)$
$(14\; 10 \;11\; 1\; 3\;)$
$(10\; 11\; 1\; 3\; 14)$
$(11\; 1\; 3\; 14\; 10)$

пусть $g = ( 1\; 3\; 14\; 10 \;11)$, а f - любой из 4-х оставшихся, тогда .... а тогда вроде бред получается), что $g^{-1}fg = g$, и это ничего не дает... я запуталась(

[provincialka]

Эти записи не дают других перестановок. Это тот же цикл. Один.

[elfirina]

Да, действительно) Я не права, но может вы подскажите, как все же действовать дальше? Заранее благодарна)

[provincialka]

Ох, я не специалист... ну, поэкспериментируйте с данными меньшей размерности..

[lek]

Покажите, что централизатор элемента $(1 2 3 4 5)$ симметрической группы $S_5$ содержит в точности 5 элементов. Отсюда (почти сразу) следует, что количество подстановок в $S_{15}$, коммутирующих с исходной, равно $N=5\cdot5\cdot5!=3000$.

[elfirina]

И так, вот что у меня получилось:
пусть $B$ - коммутирующая с $A$ подстановка, тогда:

$$ BA = AB \\ A = B^{-1}AB =B^{-1} \left ( 1 \;3 \; 14 \;10 \;11 \; \right ) \left( 4 \; 7 \; 15 \; 9 \; 5 \; \right) B = B^{-1} \left ( 1 \;3 \; 14 \;10 \;11 \; \right ) BB^{-1} \left( 4 \; 7 \; 15 \; 9 \; 5 \; \right) B $$ =\left (B^{-1} \left ( 1 \;3 \; 14 \;10 \;11 \; \right ) B \right ) \left( B^{-1} \left( 4 \; 7 \; 15 \; 9 \; 5 \; \right) B\right )\\ $$ \Rightarrow \left (B^{-1} \left ( 1 \;3 \; 14 \;10 \;11 \; \right ) B \right ) \left( B^{-1} \left( 4 \; 7 \; 15 \; 9 \; 5 \; \right) B\right ) = \left ( 1 \;3 \; 14 \;10 \;11 \; \right ) \left( 4 \; 7 \; 15 \; 9 \; 5 \; \right) \\ \left( B\left(1 \right)B \left( 3 \right) B\left( 14 \right)B\left( 10 \right) B\left(11 \right) \right) \cdot \left( B\left(4 \right)B \left( 7 \right) B\left( 15 \right)B\left( 9 \right) B\left(5 \right) \right) = \left ( 1 \;3 \; 14 \;10 \;11 \; \right ) \left( 4 \; 7 \; 15 \; 9 \; 5 \; \right) $$

Как я и писала выше, циклы $ \left ( 1 \;3 \; 14 \;10 \;11 \; \right ) $ и $ \left( 4 \; 7 \; 15 \; 9 \; 5 \; \right)$ можно представить по 5 раз. Я понимаю, что это одни и те же циклы, но при этом меняется значение $B\left(i\right)$
Так что выходит 25 коммутирующих подстановок.
Подскажите, это верно?

[elfirina]

Ребят, ну подскажите кто-нибудь: это верно или нет?

[ET]

elfirina в сообщении #1117799 писал(а):

Ребят, ну подскажите кто-нибудь: это верно или нет?

Нет