Об одном интересном умножении матриц

[kp9r4d]

Здесь и далее $M_p$ означает матричную алгебру над $\mathbb{C}$ размера $p$. Пусть у нас задано отображения типа

$$f : (M_n \otimes M_m) \otimes (M_n \otimes M_m) \to (M_n \otimes M_n) \otimes M_m$$

зафиксируем базис $E_{ij}$ из матричных единиц в $M_n$ тогда отображение полностью задаётся действием на следующих элементах

$$(E_{ij} \otimes A) \otimes (E_{kl} \otimes B) \mapsto (E_{jk} \otimes E_{il}) \otimes (A \cdot B)$$

Если образно, то всё выглядит так: у нас есть две квадратные матрицы $A,B$ размера $nm$ "разбитые" на блоки размера $m$ (всего блоков, соответственно $n^2$). Чтобы "перемножить" две матрицы $A, B$ "моим умножением" и получить новую матрицу $A * B = C$ размера $n^2 m$ нужно сделать следующее: взять в матрице $A$ столбец $j$ из $n$ блоков размера $m$, в матрице $B$ строку $i$ из $n$ блоков размера $m$, перемножить столбец на строку (!), получить матрицу размера $nm$, и вставить полученный блок на "место" $ij$ в будущей матрице размера $n^2 \times m$, и так сделать со всеми строками и столбцами.

Интересуют любые свойства, аналогии, аллюзии и прочее подобного "умножения", рассматривалось ли где-нибудь что-то похожее? В частности, интересуют оценки на норму $||A * A||$ через норму $||A||$ (или норма отображения $f$ в терминах первого абзаца).

[DeBill]

А вот - может, не совсем в тему - встретил я как-то раз таку задачу.
Известно, что комплексное число $ z = a + b\cdot i$- это, по сути, матрица два на два (овеществление числа $z$). Давайте в (комплексной) матрице $n\times n$ заменим каждый элемент таким блоком....Сохранится ли операция умножения матриц? (да). Что произойдет со спектром? (а вот это интересно...).

[grizzly]

kp9r4d
Похоже Вас интересует так называемое блочное умножение матриц (умножение блочных матриц). На худой конец, как аллюзия точно сойдёт.
Попытайтесь погуглить. Тема вроде как должна активно изучаться в связи с применениями (но у меня ничего, кроме аллюзий :)

[Brukvalub]

grizzly в сообщении #1112538 писал(а):

Похоже Вас интересует так называемое блочное умножение матриц (умножение блочных матриц). На худой конец, как аллюзия точно сойдёт.

Хочу возразить. При умножении блочных матриц результат соответствует стандартному умножению, просто меняется порядок действий (например, умножение алгоритмом Штрассена). Здесь же результат не соответствует обычному умножению, это что-то совсем другое.

[kp9r4d]

Спасибо за овтеты, даже не думал, что на столь специфическую тему обратят внимание. Для примера опишу умножение двух матриц $2\times 2$ (здесь $m=1$) .

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, $$

Запишем все стобцы первой матрицы один под одним и все строки второй матрицы рядом друг с другом и перемножаем:

$$ \begin{array}{r|cccc} & 1 & 3 & 0 & 0 \\ \hline 1& 1 & 3 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2& 2 & 6 & 0 & 0\\ 1& 1 & 3 & 0 & 0\\ \end{array} $$

Теперь мы транспонируем матрицу как матрицу $2 \times 2$ из блоков $2 \times 2$.

$$ \begin{array}{r|cccc} & 1 & 3 & 0 & 0 \\ \hline 1& 1 & 3 & 2 & 6 \\ 0& 0 & 0 & 1 & 3 \\ 2& 0 & 0 & 0 & 0\\ 1& 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} $$

И получили результат! На самом деле, я так подумал, добавку везде в виде тензорного $M_m$ можно убрать - по сути я просто заменил поле скаляров на чуть более сложную $C^*$-алгебру, а тут и с полями ничего не понятно, поэтому везде можно считать, что $m=1$ и умножение тогда очень простое: перемножаем столбец $j$ со строкой $i$ и результат перемножения ложим в блок $ij$. Вот такие дела.

[Brukvalub]

Немного отрезвляющей критики.
Обычно новые операции возникают как инструмент для решения какой-либо задачи. Здесь же предложенная операция возникает ниоткуда. Зачем тогда она нужна?

[grizzly]

Brukvalub
Не вчитался толком, рефлекс сработал. Спасибо за поправку.

[kp9r4d]

Brukvalub
Это умножение возникло в очень специфической задаче, проблематику которой прочувствовали 8-10 специалистов во всём мире, а программу решения, которую мы с коллегой наметили - не прочувствовали до конца даже мы сами. Если вам интересно - это связано с $C^*$-алгебрами порождёнными попарно $q$-коммутирующими изометриями и с доказательством того, что все такие алгебры изоморфны алгебре Кунца-Тёплица (вне зависимости от $q$), что свелось к поиску неподвижной точки некоторого специфического отображения в $UHF$, имеющего Glimm type $n^\infty$, а это умножение - ограничение некоторого куска этого отображения на первые слои этого $UHF$. Таки дела.

[Brukvalub]

Прочел, все это здОрово, но значимости решаемой задачи не осознал... Для меня сказанное похоже на "одно специальное свойство для одного случая одной теоремы..."

[kp9r4d]

Brukvalub
А одного специального свойства для одного случая для решения одной теоремы недостаточное основание для создания темы в ПРР? :3 Если вам интересна значимость, можете прочитать introduction в этой статье.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

kp9r4d в сообщении #1112573 писал(а):

Brukvalub
А одного специального свойства для одного случая для решения одной теоремы недостаточное основание для создания темы в ПРР?

Такого я не говорил. Я критиковал саму идею рассмотрения операции, взявшейся ниоткуда. А потом я не смог оценить важности решаемой с помощью этой операции задачи. Но это ничего другого, кроме мной сказанного, не означает.

[kp9r4d]

Заметел, что умножение уважает нормы, т.е. $||A * B|| = ||A|| ||B||$, вероятно это должно следовать сразу из определения. Но у меня не получается строго обосновать пока что. Был бы благодарен за подсказки.

Так как задача со стартового сообщения сильно упростилась, напомню, что рассматривается биллинейное умножение матриц $*: M_n \times M_n \to M_{n^2}$ полностью определенное соотношением $E_{ij} * E_{kl} = E_{kj} \otimes E_{il}$ где $\otimes$ можно рассматривать как произведение Кронекера, а можно как тензорное (что одно и то же, конечно), а $E_{ij}$ - это матричная единица. Наглядный пример этого умножения показан в сообщении выше.

[Xaositect]

Пусть $\sigma$ - перестановка индексов ($\sigma (a \otimes b) = b \otimes a$). Ваше умножение выражается как $A * B = (A^T \otimes B) \sigma$, отсюда свойства нормы очевидны.

[kp9r4d]

Не могли бы вы чуть подробнее пояснить, почему так выходит?

-- 06.04.2016, 18:06 --

Не могли бы вы чуть подробнее пояснить, почему так выходит?

[Xaositect]

Извиняюсь, я запутался с индексами, правильно будет $\sigma (A \otimes B)$.

Обозначим $n$-мерное пространство $V_n$, так что $M_n \cong V_n \otimes V^*_n$ и базисные матрицы $E_{ij} = e_i \otimes e^j$. Ваше умножение - это отображение $(V_n \otimes V^*_n) \otimes (V_n \otimes V^*_n) \to (V_n \otimes V_n) \otimes (V^*_n \otimes V^*_n)$, задаваемое как $(e_i \otimes e^j) \otimes (e_k \otimes e^l) \mapsto (e_k \otimes e_i) \otimes (e^j \otimes e^l)$, а обычное тензорное произведение будет $(e_i \otimes e_k) \otimes (e^j \otimes e^l)$

Вообще, если тензор по сути ничего не делает, его несложно выразить через другие тензоры, которые ничего не делают, типа тождественных преобразований, кронекерова произведения и перестановок индексов.