2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача по микроэкономике
Сообщение31.03.2016, 23:01 


02/12/15
6
Здравствуйте. Хотел бы попросить помощи в решении вот такой задачи:
Условие:
На конкурентном рынке сахара предложение обеспечивают $78$ компаний-производителей. Большинство фирм применяют одинаковую технологию производства сахара, которую описывает производственная функция: $Q_{s_1} = \sqrt[4]{KL}$. Однако шести производителям удалось внедрить новую технологию производства, для каждого из которых $Q_{s_1} = 2 \sqrt[4]{KL}$, где $K$ - количество вовлеченного капитала, $L$ - труда.
Производители имеют возможность приобрести труд и капитал в неограниченном количестве по фиксированным ценам: $P_L = 2$ ден. ед., $P_K = 18$ ден. ед. Спрос на этом рынке предъявляют $80$ покупателей с одинаковыми функциями полезности: $U = \sqrt{Q_1Q_2}$, где $Q_1$ - количество сахара (кг), $Q_2$ - количество мёда (кг). Расходы каждого из покупателей на приобретение мёда и сахара равны $40$ ден. ед.
Определить сумму налоговых поступлений, которые получит государство от установления акцизного налога на сахар в размере $2$ ден. ед. за кг.
Попытка решения:
Из функции полезности: $MU_1 = \frac{Q_2}{2 \sqrt{Q_1Q_2}}$, $MU_2 = \frac{Q_1}{2 \sqrt{Q_1Q_2}}$, условие равновесия потребителя: $\begin{cases}\frac{MU_1}{P_1} = \frac{MU_2}{P_2}\\ I = P_1Q_1 + P_2Q_2\end{cases}$ (я обозначил цену сахара $P_1$, мёда - $P_2$). Получим $P_1Q_1 = P_2Q_2 \Rightarrow 40 = 2P_1Q_1  \Rightarrow Q_{d_1} = \frac{20}{P_1}$. Для $80$ потребителей спрос будет равен $Q_{d_1} = \frac{1600}{P_1}$. С функцией спроса, надеюсь, разобрался.
Далее находим предельные продукты труда и капитала: $MP_L = \frac{K}{4 \sqrt[4]{K^3L^3}}, MP_K = \frac{L}{4 \sqrt[4]{K^3L^3}}$.
$\frac{MP_K}{P_K} = \frac{MP_L}{P_L} \Rightarrow L = 9K$. В производственной функции заменим поочерёдно $L$ на $9K$ и $K$ на $\frac{L}{9}$. Получим: $K = \frac{Q^2}{3}$, $L = 3Q^2$.
$TC = P_LL + PK_K$, значит, $TC = 36K = 4L$. Можно выразить через $Q$: $TC = 12Q^2 + 2Q$ ($2Q$ появилось из-за акциза). $MC = 24Q + 2$.
Найдём равновесный уровень использования труда и капитала: $Pr = TR - TC  \Rightarrow Pr = P \sqrt{3K} - 36K - 2 \sqrt{3K}$.
Прибыль максимальна, когда производная равна нулю: $ \frac{3P}{2 \sqrt{3K}} - 36 - \frac{3}{\sqrt{3K}} = 0  \Rightarrow 3P - 6 = 72 \sqrt{3K}  \Rightarrow K = \frac{(P-2)^2}{1728}$. Аналогичным способом получим $L = \frac{(P-2)^2}{192}$. Теперь, подставив равновесные $L$ и $K$ в производственную функцию получим предложение одной фирмы: $Q_{s_1} = \frac{P -2}{24}$. Для $72$ фирм будем иметь $Q_{s_1} = 3P - 6$.
Точно так же рассчитаем аналогичные показатели для шести "продвинутых" фирм (там тоже я получил $L = 9K$): $K = \frac{(P-2)^2}{432}, L = \frac{(P-2)^2}{48}  \Rightarrow Q = \frac{P-2}{6}$. Для $6$ фирм: $Q = P - 2$.
А вот что делать дальше, я не знаю. Я думал, что поскольку шесть фирм доминируют, то они должны работать со своей функцией спроса, которая есть разница между общим спросом и предложением остальных фирм. Но функция общего спроса получилась нелинейная, поэтому у меня не получается выразить $P$ чисто через $Q$ из $Q = \frac{1600}{P} - 3P + 6$. $MR$ могу выразить только через $P$: $MR = -6P + 6$. Если выразить $MC$ через $P$, то тоже, вроде бы, ничего хорошего не получу, приравняв эти величины. Подскажите, пожалуйста, следующий шаг.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по микроэкономике
Сообщение01.04.2016, 06:05 


12/08/14
181
Purus_Idiota в сообщении #1110947 писал(а):
Здравствуйте. Хотел бы попросить помощи в решении вот такой задачи:
///
поэтому у меня не получается выразить $P$ чисто через $Q$ из $Q = \frac{1600}{P} - 3P + 6$. $MR$ могу выразить только через $P$: $MR = -6P + 6$. Если выразить $MC$ через $P$, то тоже, вроде бы, ничего хорошего не получу, приравняв эти величины. Подскажите, пожалуйста, следующий шаг.

Решите квадратное уравнение и сможете выразить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по микроэкономике
Сообщение01.04.2016, 08:34 


02/12/15
6
Я, видимо, что-то делаю (или и ранее сделал) не так, поскольку у меня получается: $PQ = 1600 - 3P^2 + 6P \Rightarrow 3P^2 + (Q - 6)P - 1600 = 0 \Rightarrow P_{1,2} = \frac{6 - Q \pm\ \sqrt{Q^2 - 12Q + 19236}}{6}$ Отсюда $MR = \frac16 (-2Q + 6 + \sqrt{Q^2 - 12Q + 19236} + \frac{2Q^2 - 12Q}{2 \sqrt{Q^2 - 12Q + 19236}})$. Приравняв $MR$ и $MC (MC = 24Q +2)$ получу: $(73Q + 3) \sqrt{Q^2 -12Q +19236} = Q^2 - 9Q + 9618$. Дальше, мне показалось, нет смысла пытаться решать эту ветку, поскольку слишком большие числа получаются, чего не должно быть в таких задачах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по микроэкономике
Сообщение01.04.2016, 09:10 


12/08/14
181
В задачу и обозначения не вчитывался.
Навскидку, из этого $MR=MC$ не должно получиться ваше страшное выражение, похоже ошиблись в подстановке, попробуйте последовательно расписать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача по микроэкономике
Сообщение01.04.2016, 18:30 


02/12/15
6
Перепроверил расчёты, вроде бы, всё правильно. Если последовательно последние выражения: $$PQ = 1600 - 3P^2 + 6P \Rightarrow 3P^2 + (Q - 6)P - 1600 = 0 \Rightarrow P_{1,2} = \frac{6 - Q \pm\ \sqrt{Q^2 -12Q + 19236}}{6} \Rightarrow$$ 
$$MR = \frac16 (-2Q + 6 + \sqrt{Q^2 - 12Q + 19236} + \frac{2Q^2 - 12Q}{2 \sqrt{Q^2 - 12Q + 19236}}) \Rightarrow$$ 
$$MR = \frac16(-2Q + 6 + \frac{2(Q^2 - 12Q + 19236) + 2Q^2 - 12Q}{2 \sqrt{Q^2 -12Q + 19236}}) \Rightarrow$$ $$MR = \frac13(-Q + 3) + \frac{4(Q^2 - 9Q + 9618)}{6 \sqrt{Q^2 - 12Q + 199236}}.$$ $$MR = MC \Rightarrow \frac13(-Q + 3) + \frac{(Q^2 - 9Q + 9618)}{3 \sqrt{Q^2 - 12Q + 199236}} = 24 Q + 2 \Rightarrow$$ $$-Q +3 + \frac{(Q^2 - 9Q + 9618)}{\sqrt{Q^2 - 12Q + 199236}} = 72Q + 6 \Rightarrow$$ $$(73Q + 3) \sqrt{Q^2 -12Q +19236} = Q^2 - 9Q + 9618$$
Скорее всего, у меня теоретическая ошибка, вот только найти её не могу. Я думаю, что это, скорее всего, связано с разницей спроса и предложения меньших фирм. Может, не нужно отнимать? Может, они просто присоединяются к предложению остальных? Но тогда, приравняв спрос и предложение, квадратное уравнение не будет иметь целых корней. Что-то я совсем не въезжаю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: zhoraster, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group