Еще один вопросик про пределы.

[Ruslan_Sharipov]

provincialka в сообщении #978653 писал(а):

Именно проколотой. При вычислении пределов значение функции в точке нас не интересует.

Любознательному топикстартеру темы "Вопросик по простейшему свойству предела" большой Респект! Обсуждение в общем-то банальных вещей в этой теме навеяло на мысль сформулировать следующую быть может чуть менее банальную задачку:

Существует ли функция, которая в каждой точке имеет предел по проколотым окрестностям, но ни в одной точке непрерывной не является?

Сначала я задал свой вопрос в исходной теме, но получал указание модератора Lia перенести его в новую тему. Предполагаю, что в исходной теме моё сообщение будет удалено.

[DeBill]

Как обычно, колебанием функции на множестве будем называть разность между максимумом (супремумом) и минимумом функции на множестве; колебанием функции в точке - предел колебаний функции на интервалах с центрами в точке, при стремлении к 0 длины интервала. Если в точке есть предел функции, то на примыкающих к этой точке интервалах колебания сколь угодно малы. Поехали: для любой точки $x$ и для любого $n$ построим интервал $I_n(x) = (x, x+...)$, на котором колебание функции меньше $\frac{1}{n}$. Пусть $U_n$ - их объединение по всем $x$. Множество $U_n$ открыто и плотно. По Бэру (т.е., из принципа вложенных отрезков) , пересечение $C$ всех $U_n$ - плотно (и непусто, в частности). В точках из $C$ функция непрерывна (колебание ее равно 0). Итого: если в каждой точке есть предел, то множество ее разрывов - первой категории.

[Ruslan_Sharipov]

Спасибо. Попробую усложнить задачу. Сюжет тот же - пределы по проколотым окрестностям. Пусть функция $f(x)$ в каждой точке имеет конечный предел вида

$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}=a(x)$$

Далее следует серия вопросов про $f(x)$ и $a(x)$. Сложность их с ходу оценить не могу:

• Может ли функция $f(x)$ быть всюду разрывной?
• Если нет, то как велико может быть множество её разрывов?
• Может ли функция $f(x)$ нигде не иметь производной в обычном смысле?
• Если нет, то как велико может быть множество точек, где она не имеет производной в обычном смысле?
• Может ли функция $a(x)$ быть всюду разрывной?
• Если нет, то как велико может быть множество её разрывов?
• Обязана ли функция $a(x)$ быть интегрируемой по Лебегу в окрестности любой точки на числовой прямой за исключением быть может некоторого малого в определённом смысле числа точек?
• Если да или если дополнительно предположить, что функция $a(x)$ локально интегрируема за малым в смысле предыдущего пункта исключением, то положим
  
  $$b(x)=f(x)-\int\limits^{x}_{x_0}a(x)\,dx\,.$$
  
  Обязана ли функция $b(x)$ быть локально постоянной?