Точка Лагранжа L1. Расходятся данные по ускорениям

[Khos]

Решил изучить точку Лагранжа L1 в системе Солнце-Земля.
Понятно, что L1 находится между двумя телами системы, ближе к менее массивному телу.
Формулу для расчета L1 взял из Википедии.
Рассчитал местонахождение этой точки. r1 = 148 103 475 км
От Земли соответственно расстояние до точки Лагранжа L1 = 1 496 524 км.
Вроде как всё совпадает с материалами из интернета, где написано, что точка Лагранжа находится в 1,5 миллионах километров от Земли.
Если я правильно понимаю, то в точке Лагранжа L1 действие земной силы тяжести уравновешивает влияние солнечной гравитации. Т.е. притяжение Солнца будет равно притяжению Земли. Т.е. ускорение, направленное в сторону Солнца, по величине будет равно ускорению, направленному в сторону Земли.
Используя закон всемирного тяготения я рассчитал эти ускорения. И не совсем рядом друг с другом не находятся. В сторону Солнца - 6048 мкм/с2. В сторону Земли - 178,0 мкм/с2.

Подскажите, где я неправильно думаю? Весь мозг уже сломал.

[Red_Herring]

Khos в сообщении #1105317 писал(а):

Если я правильно понимаю, то в точке Лагранжа L1 действие земной силы тяжести уравновешивает влияние солнечной гравитации.

Нет. Это ведь не статическая картинка: Солнце и Земля прибиты гвоздиками, а аппарат в L1 висит между ними. Все тела движутся (с ускорениями).

[venco]

Точка Лагранжа движется по круговой орбите. Суммарная сила должна дать ускорение, соответствующее этой орбите.

[Munin]

Khos в сообщении #1105317 писал(а):

Т.е. ускорение, направленное в сторону Солнца, по величине будет равно ускорению, направленному в сторону Земли.

Тело не может двигаться с двумя ускорениями сразу.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Астрономия» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Астрономия»

-- 10.03.2016, 20:43 --

Khos в сообщении #1105317 писал(а):

Если я правильно понимаю, то в точке Лагранжа L1 действие земной силы тяжести уравновешивает влияние солнечной гравитации.

Это неверно.

Khos в сообщении #1105317 писал(а):

Т.е. притяжение Солнца будет равно притяжению Земли.

А это - еще более неверно.

В ограниченной круговой задаче трех тел (в которой два массивных тела вращаются вокруг центра масс по круговым орбитам, а оставшееся тело имеет пренебрежимо малую массу) существуют пять точек Лагранжа, в которых тело малой массы может находиться в равновесии во вращающейся вместе с массивными телами системе отсчета. Выделенное курсивом принципиально.

Одна из пяти точек находится на отрезке, соединяющем два массивных тела, именно она и обозначается $L_1$. Соответственно, в ней должна быть равна нулю векторная сумма двух гравитационных ускорений и центробежного ускорения (возникающего из-за неинерциальности используемой системы отсчета). Конкретно для системы Солнце-Земля это центробежное ускорение (вернее, его модуль) оказывается близким к гравитационному ускорению со стороны Солнца, поэтому приравнивание просто двух гравитационных ускорений и дает результат, не имеющий ничего общего с действительностью.

[Munin]

(Оффтоп)

Pphantom в сообщении #1105629 писал(а):

существуют пять точек Лагранжа, в которых тело малой массы может находиться в равновесии во вращающейся вместе с массивными телами системе отсчета. Выделенное курсивом принципиально.

В равновесии-то они будут независимо от системы отсчёта, вот неподвижными - только в этой с. о. :-)

[Pphantom]

Munin в сообщении #1105662 писал(а):

В равновесии-то они будут независимо от системы отсчёта, вот неподвижными - только в этой с. о.

Я как-то привык считать, что положение равновесия для материальной точки - это то место, где векторная сумма действующих на нее сил равна нулю. В других СО это условие выполняться не будет.

[Munin]

Ну да, само словосочетание "положение равновесия" подразумевает неподвижность. Я его и не использовал.

-- 11.03.2016 18:28:18 --

Я всего лишь хотел подчеркнуть, что "выделенность" точек $L_{1,2,3,4,5}$ - объективная и физическая, и ни к каким системам отсчёта не привязанная. Например, в $L_{4,5}$ Солнца-Юпитера скапливаются хорошо известные группы астероидов - "троянцы" и "греки". Кстати, в $L_{4,5}$ систем Солнце-Земля и Земля-Луна, как я понимаю, пока ещё никого не найдено? Какие-нибудь вообще ещё заполненные точки $L_{4,5}$ в Солнечной системе известны?

[Pphantom]

Munin в сообщении #1105821 писал(а):

Я всего лишь хотел подчеркнуть, что "выделенность" точек $L_{1,2,3,4,5}$ - объективная и физическая, и ни к каким системам отсчёта не привязанная.

Это да, но ТС все-таки пытался их именно считать.

Munin в сообщении #1105821 писал(а):

Кстати, в $L_{4,5}$ систем Солнце-Земля и Земля-Луна, как я понимаю, пока ещё никого не найдено?

В принципе, найдено. Для системы Солнце-Земля это астероид 2010 TK7, для системы Земля-Луна есть подозрения, что там повышена концентрация пыли.

Правда, осмысленность самого понятия треугольных точек Лагранжа для этих случаев под очень большим вопросом. Для системы Солнце-Земля мимо каждой из этих точек раз в полтора года на расстоянии 0.3 а.е. пролетает Венера, соответственно, никакой ограниченной задачей трех тел там и не пахнет. Для системы Земля-Луна в этом смысле ситуация лучше, но зато там с ограниченной круговой задачей трех тел все плохо. В итоге в обоих случаях устойчивость пропадает, и говорить об $L_4$ и $L_5$ можно разве что по аналогии.

Munin в сообщении #1105821 писал(а):

Какие-нибудь вообще ещё заполненные точки $L_{4,5}$ в Солнечной системе известны?

С теми же оговорками, что для случая Солнце-Земля - да, у Нептуна и Урана.

Есть, впрочем, и полноценные реализации: мелкие спутники Сатурна в системах Сатурн-Диона и Сатурн-Тефия.

[Munin]

Pphantom в сообщении #1105846 писал(а):

Это да, но ТС все-таки пытался их именно считать.

Считать, конечно, во вращающейся с. о. натуральнее всего.

За факты спасибо! :-)