Будем обозначать матрицы заглавными буквами. Найдем сначала:
, где
-единичная матрица
единичная матрица
нулевая матрица
.
В свою очередь можно записать
, где
С помощью (1) получим:
Таким образом нужный нам коэффициент равен коэффициенту перед
в следе суммы в (2). Понятно, что вклад в этот коэффициент дают слагаемые суммы в (2) с
.
Этот вклад равен:
, где
-это сумма всевозможных произведений
матриц
и
матриц
. Отметим следующие свойства матриц
и
нулевая матрица при
. Так как все степени матрицы
выше первой равны 0, то в сумме
останутся лишь те произведения, в которых нет соседних матриц
, т.е. останутся произведения вида:
. Число таких произведений равно:
. Среди этих произведений будут иметь нулевой след произведения вида:
, т.к. при взятии следа
справа можно перенести налево и мы по лучим
. Число произведений такого вида равно:
Оставшиеся произведения с учетом свойства (3), (4) приводятся к виду:
. Таким образом вклад от
ого слагаемого равен:
. Суммируя выражения (5) по
от 0 до
получим, что коэффициент равен:
(при суммировании по
была использована формула
)