Объем конуса

[soulstealer]

Здравствуйте, у меня возникли проблемы в нахождении объема конуса с помощью интеграла: Вычислить объём тела, ограниченного поверхностями: $x^2+y^2-z^2=9$, $z=0$, $z=4$.
У меня получился такой интеграл(Я перешел в цилиндрические координаты):
$\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{3}^{5}rdr\int\limits_{\sqrt{r^2-9}}^{4}dz=...=\frac{64\pi}{3}$
Преподаватель вернул тетрадку. Подскажите где я ошибся..

[provincialka]

известный анекдот писал(а):

Сентиментальная леди, прогуливаясь с молодым человеком по лесу, остановилась перед большим деревом.
- Прекрасный вяз, - проговорила она, - чтобы ты сказал мне, если бы умел говорить?
- Наверное, он сказал бы: "Прошу прощения, но я дуб", - заметил ее спутник.

[Dan B-Yallay]

(Оффтоп)

soulstealer в сообщении #1062750 писал(а):

Здравствуй,

Привет, чо как дела что нового...

[provincialka]

Кстати, почему у вас $r$ меняется между 3 и 5? Что это означает геометрически?

[mihailm]

Нужна картинка это раз. А потом объясните, откуда взялись все эти числа и выражения в пределах: 3,5,4 и т.д.

[soulstealer]

provincialka
радиус нижнего основание 3 и по мере возрастания z, радиус становиться 5 на верхнем основание
z меняется от нижнего основания($x^2+y^2=9$) до плоскости, ограничивающей поверхность $z=4$

[provincialka]

Хм... Вы поняли зачем я вам рассказала этот анекдот? Уж не ради веселья, наверное...

soulstealer в сообщении #1062762 писал(а):

радиус нижнего основание 3 и по мере возрастания z, радиус становиться 5 на верхнем основание

Это у фигуры так. А у интеграла получается, что $r$ меняется только между 3 и 5. А что, меньше 3 он быть не может? И вообще порядок расстановки пределов неудачный.

[soulstealer]

Цитата:

Вы поняли зачем я вам рассказала этот анекдот?

Нет

Цитата:

А что, меньше 3 он быть не может?

Думаю нет, потому что нас же ограничивает плоскость $z=0$ и там где радиус меньше 3 нас уже не интересует

[Dan B-Yallay]

soulstealer в сообщении #1062768 писал(а):

Думаю нет, потому что нас же ограничивает плоскость $z=0$ и там где радиус меньше 3 нас уже не интересует

У Вас в конусе вдоль оси просверлена дыра радиусом 3?

[provincialka]

soulstealer в сообщении #1062768 писал(а):

Нет

Ну... не особо важно... Но все-таки что за ошибку совершила "сентиментальная дама"?

soulstealer в сообщении #1062768 писал(а):

Думаю нет, потому что нас же ограничивает плоскость $z=0$ и там где радиус меньше 3 нас уже не интересует

Хм... Радиус меньше 3 нас, конечно, не интересует (а кстати, при каких $z$ он будет таким? ). А вот $r$ может быть меньше 3. Ведь это просто координата!

[soulstealer]

Цитата:

У Вас в конусе вдоль оси просверлена дыра радиусом 3?

Нет, я изменил рисунок.

Цитата:

Хм... Радиус меньше 3 нас, конечно, не интересует (а кстати, при каких $z$ он будет таким? ). А вот $r$ может быть меньше 3. Ведь это просто координата!

при $z=0$, $r=3$
Да и быть меньше 3 он тоже не может, нижу плоскости $z=0$ симметрично отображенный конус, ведь это однополостной гиперболоид

[provincialka]

soulstealer в сообщении #1062777 писал(а):

$r=3$

provincialka в сообщении #1062772 писал(а):

меньше 3

Не ту фигуру вы описываете: вам же Dan B-Yallay сказал: ваш интеграл соответствует фигуре с дырой! (только это не конус)

[Dan B-Yallay]

(provincialka)

Удачи Вам и крепких этих... которые не восстанавливаются.

[soulstealer]

Цитата:

Не ту фигуру вы описываете: вам же Dan B-Yallay сказал: ваш интеграл соответствует фигуре с дырой! (только это не конус)

Так, я начал понимать.. сейчас

-- 15.10.2015, 00:41 --

Получается, к моему найденному интегралу, нужно добавить объем отверстия, который представлен в виде цилиндра:
$\int\limits_{0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{0}^{3} rdr\int\limits_{0}^{4}dz=...=36\pi$
Потом сложим с интегралом, найденным выше:
$\frac{64\pi}{3}+36\pi=\frac{172\pi}{3}$

-- 15.10.2015, 00:42 --

Так я понимаю?

-- 15.10.2015, 00:59 --

Я понял ваш анекдот. Это не конус, а однополостной гиперболоид

[ewert]

soulstealer в сообщении #1062783 писал(а):

Получается, к моему найденному интегралу, нужно добавить объем отверстия, который представлен в виде цилиндра:

Получается, что Вы просто неудачно выбрали порядок интегрирования. Следовало наоборот: по $z$ снаружи, по $r$ внутри.

(Оффтоп)

И ещё я не понял, почему даму обозвали сентиментальной. Это была Прекрасная Дама. Она же восхитительна!