Движение под углом к горизонту

[foundate]

Найти:
Д) Значения $\left\lvert\frac{\delta\mathbf{v}}{\delta\mathbf{t}}\right\rvert$ и $\frac{\delta\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert}{\delta\mathbf{t}}$ в вершине траектории,
E) Радиус кривизны $\mathbf{R}$ траектории в точках $\mathbf{O}$ и $\mathbf{O'}$

Помогите разобраться в пунктах Д и Е.
Д) Первое($\left\lvert\frac{\delta\mathbf{v}}{\delta\mathbf{t}}\right\rvert$) это типичная производная(как я понимаю) в модуле, следовательно, ответ $\mathbf{g}$ . Не могу понять, что есть $\delta\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert$ в выражении $\frac{\delta\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert}{\delta\mathbf{t}}$
E)Был бы благодарен за доходчивое объяснение значения словосочетания "радиус кривизны" с примерами или же ссылки на подобное в Интернете. Ничего подобного сам найти не смог

мат-ламер в сообщении #1050983 писал(а):

foundate в сообщении #1050978 писал(а):

Первое($\left\lvert\frac{\delta\mathbf{v}}{\delta\mathbf{t}}\right\rvert$) это типичная производная(как я понимаю)

Это произволная от вектор-функции - тоже вектор. От неё взяли модуль.

foundate в сообщении #1050978 писал(а):

Не могу понять, что есть $\delta\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert$ в выражении $\frac{\delta\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert}{\delta\mathbf{t}}$

От вектор-функции взяли модуль. Получили скаляр. Затем взяли производную от скалярной функции.

Следовательно получается, раз скаляр, который, в вершине траектории равен горизонтальной составляющей вектора $\mathbf{V}$, то производная этой скалярной функции будет равна $\mathbf{0}$ т.к. горизонтальная составляющая скорости со времен не изменяется?

[мат-ламер]

foundate в сообщении #1050978 писал(а):

Первое($\left\lvert\frac{\delta\mathbf{v}}{\delta\mathbf{t}}\right\rvert$) это типичная производная(как я понимаю)

Это произволная от вектор-функции - тоже вектор. От неё взяли модуль.

foundate в сообщении #1050978 писал(а):

Не могу понять, что есть $\delta\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert$ в выражении $\frac{\delta\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert}{\delta\mathbf{t}}$

От вектор-функции взяли модуль. Получили скаляр. Затем взяли производную от скалярной функции.

-- Вс сен 06, 2015 19:04:53 --

foundate в сообщении #1050978 писал(а):

E)Был бы благодарен за доходчивое объяснение значения словосочетания "радиус кривизны" с примерами или же ссылки на подобное в Интернете. Ничего подобного сам найти не смог

тут.

[arseniiv]

$\dfrac{d|\mathbf v|}{dt}$ — это просто производная от $|\mathbf v|$. Если $\mathbf v = (v_x,v_y,v_z)$, то $|\mathbf v| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$, ну и производную понятно как найти.

foundate в сообщении #1050978 писал(а):

Первое($\left\lvert\frac{\delta\mathbf{v}}{\delta\mathbf{t}}\right\rvert$) это типичная производная(как я понимаю) в модуле, следовательно, ответ $\mathbf{g}$ .

Точнее, $g$, т. к. $\mathbf g$ — это до взятия модуля.

Радиус кривизны кривой в какой-то точке — это, грубо говоря, радиус окружности, которой можно приблизить участок траектории вблизи этой точки. (Радиус кривизны прямолинейного участка будет бесконечным.) О связи такого понимания с более точным определением (это величина, обратная к кривизне, а кривизна — производная от угла, под которым направлена кривая, по её натуральному параметру), боюсь, в двух словах не сказать (ну, можно дать готовую формулу, но это же не добавит понимания). Правда, есть некоторые физические соображения, касающиеся именно радиуса. Вы пока доделайте д).

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- наберите нормально условие задачи, в виде картинки можно оставить только собственно рисунок (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[foundate]

Pphantom:

Не стоит цитировать все подряд. Явно лишняя цитата удалена.

мат-ламер в сообщении #1050983 писал(а):

foundate в сообщении #1050978 писал(а):

Первое($\left\lvert\frac{\delta\mathbf{v}}{\delta\mathbf{t}}\right\rvert$) это типичная производная(как я понимаю)

Это произволная от вектор-функции - тоже вектор. От неё взяли модуль.

foundate в сообщении #1050978 писал(а):

Не могу понять, что есть $\delta\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert$ в выражении $\frac{\delta\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert}{\delta\mathbf{t}}$

От вектор-функции взяли модуль. Получили скаляр. Затем взяли производную от скалярной функции.

Следовательно получается, раз скаляр, который, в вершине траектории равен горизонтальной составляющей вектора $\mathbf{V}$, то производная этой скалярной функции будет равна нулю т.к. горизонтальная составляющая скорости со времен не изменяется?

[Munin]

foundate
Ваши обозначения какие-то дикие. Из какого источника взята задача?

Производная обозначается $\dfrac{d\cdots}{d\cdots}.$ Векторы можно обозначать полужирным шрифтом, как $\mathbf{v},$ но в таком случае время $t$ никак не может быть вектором, и обозначается иначе (нежирным шрифтом, чаще всего наклонным).

Кроме того, вы сами путаете вектор и его модуль; большие и малые буквы - это всё надо отслеживать аккуратно.

-- 06.09.2015 19:10:45 --

foundate в сообщении #1051012 писал(а):

Следовательно получается, раз скаляр, который, в вершине траектории равен горизонтальной составляющей вектора $\mathbf{V}$, то производная этой скалярной функции будет равна нулю т.к. горизонтальная составляющая скорости со времен не изменяется?

Это ошибочное рассуждение. Если одна величина (функция времени) в какой-то точке равна другой величине, это ещё не значит, что равны их производные. Чтобы приравнивать производные, нужно равенство функций, а модуль вектора $\mathbf{v}$ не равен горизонтальной составляющей этого вектора.

[foundate]

Munin
По поводу обозначения - спасибо за совет.

По поводу модуля вектора $\mathbf{v}$ - по условию задачи нас интересует верхняя точка траектории разве в ней не равна нулю вертикальная составляющая этого вектора(следовательно остается только горизонтальная)?

[Munin]

foundate в сообщении #1051024 писал(а):

По поводу обозначения - спасибо за совет.

Я повторяю вопрос: из какого источника взята задача? Название, автор, если что-то местное - место и год издания.

foundate в сообщении #1051024 писал(а):

По поводу модуля вектора $\mathbf{v}$ - по условию задачи нас интересует верхняя точка траектории разве в ней не равна нулю вертикальная составляющая этого вектора(следовательно остается только горизонтальная)?

В этой точке - равна.

Но производная - это такая штука, которой недостаточно "в одной точке". Она берёт функцию в окрестности точки. А в окрестности верхней точки траектории - нет, вертикальная составляющая уже не равна нулю, она хоть и мала, но существует. От вас требуется более тонкое и аккуратное рассуждение (или вычисление).

[foundate]

Munin в сообщении #1051027 писал(а):

foundate в сообщении #1051024 писал(а):

По поводу обозначения - спасибо за совет.

Я повторяю вопрос: из какого источника взята задача? Название, автор, если что-то местное - место и год издания.

Сборник вопросов и задач по общей физике. Савельев И.В.
2-е изд., перераб.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988.—288 с.
Проблема не в задачнике, а во мне. Криво, относительно обозначений, переписал условия.

[arseniiv]

foundate
Обещаное насчёт радиуса кривизны: надо будет повторить вывод формулы для равномерного движения по окружности $a_\text{центростр.} = v^2/r$ (∗) уже для случая какого угодно движения. Получится то самое. Точнее не могу сказать, потому что не знаю, как у вас показывалось (∗). (Да и пока до этого здесь ещё не дошли.)

[foundate]

Munin
По поводу задачи -

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \mathbf{v}_{x} =\mathbf{v}\cdot\cos\alpha \\ \mathbf{v}_{y}= \mathbf{v}\cdot\sin\alpha\\ \end{array} \right.$$

Раз $\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert$ = $\sqrt{\mathbf{v}_{x}^2+\mathbf{v}_{y}^2}$
1)$\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert$ = $\sqrt{\mathbf{v}^2\cos^2\alpha+\mathbf{v}^2\\sin^2\alpha-2\mathbf{v}\mathrm{g}\mathsf{t}\sin\alpha+g^2\mathsf{t}^2}$

2)$\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert$ = $\sqrt{\mathbf{v}^2-2\mathbf{v}\mathrm{g}\mathsf{t}\sin\alpha+g^2\mathsf{t}^2}$

*предположения*
Далее следует свести то что под корнем к квадрату разности, проведя некие рассуждения об угле $\alpha$ (?)

arseniiv, спасибо. Быть может вы можете порекомендовать хорошее учебное пособие для повторения данного материала?

P.S. По поводу правильного шрифта для g и t - окончательно запутался
P.P.S. По поводу лишних цитат - научился отвечать, используя только имя собеседника только к этому посту.

[Munin]

Отсканированное издание 1982 года:



Как видим, обозначения нормальные.

[foundate]

Munin, повторюсь

foundate в сообщении #1051030 писал(а):

Проблема не в задачнике, а во мне. Криво, относительно обозначений, переписал условия.

Редактировать начальный пост больше не могу...

[Munin]

foundate в сообщении #1051038 писал(а):

Раз $\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert$ = $\sqrt{\mathbf{v}_{x}^2+\mathbf{v}_{y}^2}$
1)$\left\lvert\mathbf{v}\right\rvert$ = $\sqrt{\mathbf{v}^2\cos^2\alpha+\mathbf{v}^2\\sin^2\alpha-2\mathbf{v}\mathrm{g}\mathsf{t}\sin\alpha+g^2\mathsf{t}^2}$

Уже здесь вы начали писать ерунду. Формулы для $v_x$ и $v_y$ не такие. Вы начали "ходить по кругу", а формулы "не замкнуты в круг".

foundate в сообщении #1051038 писал(а):

arseniiv, спасибо. Быть может вы можете порекомендовать хорошее учебное пособие для повторения данного материала?

Тот же самый Савельев. Курс общей физики. Т. 1. Механика. § 9. Ускорение при криволинейном движении.
Скачивается в интернете.

foundate в сообщении #1051038 писал(а):

P.S. По поводу правильного шрифта для g и t - окончательно запутался

Шрифт - это всего лишь подсказка для указания на суть обозначения. Вы в программировании знакомы с типами данных? Так вот, шрифт обозначает "тип":
- простой шрифт обозначает числовые величины: скаляры, проекции векторов на координатные оси: $t,v_x$;
- полужирный шрифт обозначает векторные величины (отрезок со стрелочкой, точка приложения не фиксирована): $\mathbf{v}$;

- соответствующие проекции вектора на координатные оси записываются как числовые величины, простым шрифтом той же буквой, с подписанным названием оси: $\mathbf{v}$ имеет проекции $v_x,v_y,v_z$; это иногда записывается как $\mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z)=v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k}=v_x\mathbf{e}_x+v_y\mathbf{e}_y+v_z\mathbf{e}_z$;

- довольно часто модуль вектора также обозначается простым шрифтом той же буквой: $|\mathbf{v}|=v,|\mathbf{g}|=g.$ Это логично, потому что модуль - скалярная величина.

foundate в сообщении #1051038 писал(а):

P.P.S. По поводу лишних цитат - научился отвечать, используя только имя собеседника только к этому посту.

Освойте ещё кнопку "Вставка" (сначала надо выделить часть сообщения собеседника, и не перепутать, которую кнопку "Вставка" нажимать).

-- 06.09.2015 20:22:49 --

foundate в сообщении #1051046 писал(а):

Редактировать начальный пост больше не могу...

Главное, что мы разобрались, чего в условиях требовалось.