Топология на конечном пространстве отношением порядка

[phoboslol]

Доброго времени суток,

Разъясните пожалуйста, как задается топология отношением порядка на конечном пространстве?
На вики http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_topological_space#Specialization_preorder есть по этому поводу некоторый материал, там речь идет про отношение порядка "$x$ лежит в замыкании ${y}$".
В общем виде понятно как задается топология отношением порядка, то есть все "верхние" множества открытые, все "нижние" — замкнуты. Вопрос только в том, как можно устанавливать отношением порядка "$x$ лежит в замыкании ${y}$", если замыкание определить попросту не получится на множестве, в котором пока что (мы же только строим топологию, то бишь определяем какие множества открыты) отсутствуют открытые и замкнутые множества. Или замыкание надо определять как-то по-другому, без открытых множеств?

[Brukvalub]

Замыкание множества - это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих данное множество.

[AGu]

phoboslol в сообщении #998275 писал(а):

Вопрос только в том, как можно устанавливать отношением порядка "$x$ лежит в замыкании ${y}$", если замыкание определить попросту не получится на множестве, в котором пока что [...] отсутствуют открытые и замкнутые множества.

Описанной Вами проблемы в той статье я не вижу. Там рассмотрены две ситуации. Первая: в топологическом пространстве (где есть открытые и замкнутые множества) определяется отношение предпорядка (с помощью замыкания синглетонов). Вторая: в предупорядоченном множестве (где нет открытых и замкнутых множеств, но есть какое-то отношение предпорядка) определяется топология (открытые множества определяются как насыщенные вверх множества).