Доказать изоморфизм фактор кольца,полю.

[AlexanderM12]

$Z[i]/<p>\cong F_{p^2}$
Где $Z[i]=\{a+bi|a,b\in Z\}$,$F_{p^2}=\left\lbrace\begin{pmatrix} a\text{ }b \\ -b\text{ }a \end{pmatrix}|a,b\in Z_p\right\rbrace$
Есть такая идея:
$Z[i]/<p>\cong Z[x]/<p,x^2+1>\cong F_p[x]/<x^2+1>$
А дальше как продолжить?

[Sonic86]

Я не очень разбираюсь, но, если не ошибаюсь, это в общем случае неверно.
При $p=5$ $\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{F}_p$, потому что $0\equiv x^2+1\equiv (x-2)(x+2) \pmod 5$, а $x\pm 2\neq 0$ в $\mathbb{F}_p[x]$, т.е. имеем кольцо с делителями нуля.
Ну а в другом случае очевидно по определению конечного поля $\mathbb{F}_{p^2}$ определять не надо - обычное конечное поле. Если Вам это неизвестно, то надо как-то в эту сторону дойти.

То, что кольцо матриц $\binom{a \ b}{-b \ a}$ над полем $F$ изоморфно $F(i)$, знаете?

[Brukvalub]

А если указать этот изоморфизм явно, показав какой элемент в какой переходит, после чего проверить "руками" сохранение операций?

[AlexanderM12]

Brukvalub в сообщении #997140 писал(а):

А если указать этот изоморфизм явно, показав какой элемент в какой переходит, после чего проверить "руками" сохранение операций?

Как это можно сделать?

[Brukvalub]

Я свой ход сделал, теперь ваша очередь. Отсутствие ваших предложений означает, что вы мало думали над задачей.

[AlexanderM12]

Brukvalub в сообщении #997154 писал(а):

Я свой ход сделал, теперь ваша очередь. Отсутствие ваших предложений означает, что вы мало думали над задачей.

Там много элементов получиться

-- 28.03.2015, 23:46 --

Sonic86 в сообщении #997126 писал(а):

Я не очень разбираюсь, но, если не ошибаюсь, это в общем случае неверно.
При $p=5$ $\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{F}_p$, потому что $0\equiv x^2+1\equiv (x-2)(x+2) \pmod 5$, а $x\pm 2\neq 0$ в $\mathbb{F}_p[x]$, т.е. имеем кольцо с делителями нуля.
Ну а в другом случае очевидно по определению конечного поля $\mathbb{F}_{p^2}$ определять не надо - обычное конечное поле. Если Вам это неизвестно, то надо как-то в эту сторону дойти.

То, что кольцо матриц $\binom{a \ b}{-b \ a}$ над полем $F$ изоморфно $F(i)$, знаете?

Там
$\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{F}_p^2$

[Sonic86]

AlexanderM12 в сообщении #997157 писал(а):

Там
$\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{F}_p^2$

Я не понимаю Ваш ответ. Это неверно. О чем это? Что Вы хотели сказать?
Для любого поля $F$ $F^2$ - кольцо с делителями нуля.

[AlexanderM12]

Sonic86 в сообщении #997239 писал(а):

AlexanderM12 в сообщении #997157 писал(а):

Там
$\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{F}_p^2$

Я не понимаю Ваш ответ. Это неверно. О чем это? Что Вы хотели сказать?
Для любого поля $F$ $F^2$ - кольцо с делителями нуля.

Т.е. вот такая цепочка не верна?
$Z[i]/<p>\cong Z[x]/<p,x^2+1>\cong F_p[x]/<x^2+1>$

[Sonic86]

AlexanderM12 в сообщении #997267 писал(а):

вот такая цепочка не верна?
$Z[i]/<p>\cong Z[x]/<p,x^2+1>\cong F_p[x]/<x^2+1>$

Это верно.

AlexanderM12 в сообщении #997157 писал(а):

Там
$\mathbb{F}_p[x]/(x^2+1)\cong \mathbb{F}_p^2$

Это в общем случае неверно.

[AlexanderM12]

Sonic86 в сообщении #997301 писал(а):

AlexanderM12 в сообщении #997267 писал(а):

вот такая цепочка не верна?
$Z[i]/<p>\cong Z[x]/<p,x^2+1>\cong F_p[x]/<x^2+1>$

Это верно.

А можете объяснить почему это верно?Т.е. $Z[i]/<p>\cong Z[x]/<p,x^2+1>$ и $Z[x]/<p,x^2+1>\cong F_p[x]/<x^2+1>$.
Не понятно....

[Sonic86]

AlexanderM12 в сообщении #998765 писал(а):

А можете объяснить почему это верно?Т.е. $Z[i]/<p>\cong Z[x]/<p,x^2+1>$ и $Z[x]/<p,x^2+1>\cong F_p[x]/<x^2+1>$.

По определению кольца, идеала, факторкольца, это тривиально, в чем здесь затруднения?
Соотношение $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}\cong\mathbb{F}_p$ вызывает затруднения? А $F(\alpha)=F/(f), f:f(\alpha)=0, \deg f = \min$ вызывает?