В книге Ландау и Лифшица "Квантовая механика. Нерелятивистская теория" в

даётся задача:
Цитата:
Усреднить тензор

(где

— единичный вектор в направлении радиуса-вектора частицы) по состоянию с заданной абсолютной величиной вектора

, но не его направлением (т.е. неопределённым

).
Далее они предлагают решение, начало которого выглядит так:
Цитата:
Искомое среднее значение есть оператор, который может выражаться лишь через оператор

. Ищем его в виде
![$$\overline{n_in_k}-\frac13\delta_{ik}=a[\hat l_i\hat l_k+\hat l_k\hat l_i-\frac23\delta_{ik}l(l+1)];$$ $$\overline{n_in_k}-\frac13\delta_{ik}=a[\hat l_i\hat l_k+\hat l_k\hat l_i-\frac23\delta_{ik}l(l+1)];$$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/5/8/d58b9f145f0732770da10c9b1593b0b982.png)
это есть наиболее общий вид составленного из компонент

симметричного тензора второго ранга с равным нулю следом. Для определения постоянной

<...>
Сначала мне было непонятно, как средним значением физической величины мог оказаться оператор, но из
этого ответа на Phys.SE я понял, что в задаче подразумевается не тензор как физическая величина, а оператор тензора, т.е. под

подразумевается оператор

, а под

подразумевается оператор

, где

— единичный оператор. Тогда что-то начало проясняться, но тогда по чему предполагается именно усреднять? Если верить ответу на Phys.SE, то предполагается усреднение по радиальному направлению. Я так понял, что на самом деле Qmechanic имел в виду усреднение по радиальным квантовым числам, т.е. в случае атома водорода — по главному квантовому числу.
Странным показалось, однако, что когда я попытался посмотреть, как зависят матричные элементы

в зависимости от

, они все оказались равными (при одних и тех же

и разных

), и совпадающими с матричными элементами оператора, найденного в решении задачи авторами.
Соответственно, непонятно: а в каких случаях это действительно является нетривиальным усреднением, т.е. не усреднением константы?
И ещё вопрос: а если бы исходно

было не нормированным радиус-вектором, а нормированным импульсом — ответ был бы таким же с точностью до коэффициента

? Ведь ЛЛ получают его почти полностью (с точностью до

) из факта тензорности и нулёвости его следа.
И ещё: как можно этот результат получить, не зная заранее, как должен выглядеть оператор симметричного тензора второго ранга с равным нулю следом (мне его форма вовсе не очевидна)?