Видоизмененный гамильтониан

[Osmiy]

Всем известно, кто изучал квантовую механику, что существует несколько проблем при решении уравнения Шредингера многочастичных (да иногда и одночастичных) систем. Это 1) неизвестный вид волнового уравнения, 2) неразделение переменых интегрирования.
Второе возникает в основном из-за наличия в гамильтониане члена, отвечающего за потенциальную энергию взаимодействия между частицами.
А что если перенести эти взаимодействия в часть гомильтониана, отвечающего за кинетическую энергию? Ведь частицы действуют друг на друга силой, а значит придают друг другу изменение импульса.
Сам я дальше копать не стал. Над решением уравнени Шредингера в свою очередь работало много ученых, наверника подобную мысль проверяли.
Хотелось бы узнать как это влияет возможность решать уравнения Ш. для такого гамильтониана?

[Munin]

Osmiy в сообщении #981100 писал(а):

А что если перенести эти взаимодействия в часть гомильтониана, отвечающего за кинетическую энергию?

А как конкретно вы предлагаете это сделать?

По сути-то, дело не в том, за потенциальную или за кинетическую энергию отвечает этот член. Дело в том, что этот член отвечает за взаимодействие. Если у нас есть две невзаимодействующие подсистемы, то гамильтониан имеет вид двух независимых слагаемых:

$$\widehat{H}_0(q_1,q_2,q_1',q_2')=\widehat{H}_1(q_1,q_1')+\widehat{H}_2(q_2,q_2'),$$

и тогда в уравнении можно разделить переменные подсистем $q_1$ и $q_2.$ Но если системы становятся взаимодействующими, то гамильтониан приобретает вид

$$\widehat{H}(q_1,q_2,q_1',q_2')=\widehat{H}_1(q_1,q_1')+\widehat{H}_2(q_2,q_2')+\widehat{H}_{12}(q_1,q_2,q_1',q_2'),$$

и третий член нельзя приписать ни к первому, ни ко второму, и переменные перестают разделяться.

Osmiy в сообщении #981100 писал(а):

Сам я дальше копать не стал. Над решением уравнени Шредингера в свою очередь работало много ученых, наверника подобную мысль проверяли.

Это хорошо, что вы это понимаете, и в то же время хорошо, что вы придумали и высказали свою идею. Таких идей надо придумывать больше, но относиться к ним надо как к обычной тренировке ума, без большой самостоятельной ценности. И разумеется, надо и самостоятельно пытаться оценить идею (а для этого - прорабтать её, исследовать её последствия), и выносить на обсуждение с коллегами и старшими товарищами. Пусть первая идея не сработает, зато десятая может вырасти в небольшую заметку, а сотая - и в тему для диссертации.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: больше соответствует этому разделу.

[Osmiy]

Вот что я имел в виду. На примере атома водорода с зафиксированым ядром в начале системы координат.

Обычный гамильтониан
$\widehat{H}=$\widehat{T}+$\widehat{V}$
где
$\widehat{T}= \frac{1}{2m}(\widehat{p}_x+\widehat{p}_y+\widehat{p}_z)$
$\widehat{V}=-\frac{Ze^2}{r}$

Теперь запищем изменение импульса через кулоновскую силу, действующую на электрон
$d\overrightarrow{p}=\overrightarrow{F}dt$,
где $|\overrightarrow{F}|=\frac{Ze^2}{r^2}$

Теперь подставим это в оператор кинетической энергии
$\widehat{T}= \frac{1}{2m}(\widehat{p}_x+\widehat{p}_y+\widehat{p}_z+d\overrightarrow{p})$
И тогда гамильтониан примет вид
$\widehat{H}=$\widehat{T}$

Сразу прощу прощение, что намешал операторные и векторные выражения вместе. Надеюсь Вы поймете, что я имел ввиду.

[Munin]

Osmiy в сообщении #981294 писал(а):

Теперь подставим это в оператор кинетической энергии
$\widehat{T}= \frac{1}{2m}(\widehat{p}_x+\widehat{p}_y+\widehat{p}_z+d\overrightarrow{p})$

Простите, а в чём законность этой операции?

-- 22.02.2015 19:38:30 --

Osmiy в сообщении #981294 писал(а):

Сразу прощу прощение, что намешал операторные и векторные выражения вместе. Надеюсь Вы поймете, что я имел ввиду.

Я надеюсь (хотя и слабо), что вы поймёте, что намешав вместе несовместимые вещи, никак нельзя получить чего-то осмысленного.

[Osmiy]

Munin в сообщении #981317 писал(а):

Простите, а в чём законность этой операции?

Я лишь хотел показать ход мыслей.
Если оператор кинетической энергии записывается через импульс, то почему бы не взять импульс, который зависит не только от текущих координат частицы, но и состояние системы в целом. Как-то так

[Munin]

Osmiy в сообщении #981342 писал(а):

Я лишь хотел показать ход мыслей.

Если мысли не дают какой-то законной формулы, то это неправильные мысли.

Osmiy в сообщении #981342 писал(а):

Если оператор кинетической энергии записывается через импульс, то почему бы не взять импульс, который зависит не только от текущих координат частицы, но и состояние системы в целом. Как-то так :oops:

Ну вот придумайте, как именно он будет зависеть - появится предмет для разговора.