Механическая энергия цилиндра

[lantza]

Решая задачи и просматривая решения авторов (в пособии) на тему вращательного движения, возник такой вопрос.

Допустим, у нас катится горизонтально по поверхности сплошной цилиндр массой $m$ без проскальзывания со скоростью $\upsilon$. Тогда его механическая энергия (без учета потенциальной энергии) равна $E=\dfrac{m\upsilon^2}{2} +\dfrac{J_0\omega_0^2}{2}$, где $J_0$ - момент инерции относительно центра окружности.
Верно ли, что $\dfrac{m\upsilon^2}{2} +\dfrac{J_0\omega_0^2}{2}=\dfrac{J\omega^2}{2}$, где по теореме Штейнера $J=J_0+mR^2$ - момент инерции относительно мгновенной оси вращения?

[Pphantom]

Как связаны между собой $\omega$, $\omega_0$ и $v/R$? Попробуйте ответить на этот вопрос, после этого ответ на исходный станет очевидным.

[Munin]

lantza в сообщении #980580 писал(а):

Решая задачи и просматривая решения авторов (в пособии) на тему вращательного движения, возник такой вопрос.

"Подъезжая к сией станцыи и глядя на природу в окно, у меня слетела шляпа."

lantza в сообщении #980580 писал(а):

Верно ли, что $\dfrac{m\upsilon^2}{2} +\dfrac{J_0\omega_0^2}{2}=\dfrac{J\omega^2}{2}$, где по теореме Штейнера $J=J_0+mR^2$ - момент инерции относительно мгновенной оси вращения?

А вы попробуйте подставить $J$ по теореме Штейнера в правую часть, и сравнить. Указание: $\omega_0\equiv\omega.$

[lantza]

Munin в сообщении #980590 писал(а):

"Подъезжая к сией станцыи и глядя на природу в окно, у меня слетела шляпа."

Да, я в курсе про эту ошибку по русскому языку. Но ничего, если именно некая персона "вопрос" возникает, просматривает и решает задачи?

Munin в сообщении #980590 писал(а):

А вы попробуйте подставить $J$ по теореме Штейнера в правую часть, и сравнить. Указание: $\omega_0\equiv\omega.$

$\dfrac{m\upsilon^2}{2} +\dfrac{J_0\omega_0^2}{2}=\dfrac{J\omega^2}{2}$

$m\upsilon^2+J_0\omega^2=J\omega^2$

$m\upsilon^2+J_0\omega^2=J_0\omega^2+m\omega^2R^2$

$m\upsilon^2=m(\upsilon/R)^2R^2$

$\upsilon=\upsilon$

Да, забавно. Можно запомнить этот факт как теорему и воспользоваться ею.

Кстати, еще один вопрос: если верхняя точка цилиндра имеет скорость $\upsilon_0$, то $\omega=\dfrac{\upsilon_0}{2R}$? Это же ведь следствие из закона сложения скоростей (в системе отсчета, связанной с цилиндром)?

[Pphantom]

lantza в сообщении #980611 писал(а):

Кстати, еще один вопрос: если верхняя точка цилиндра имеет скорость $\upsilon_0$, то $\omega=\dfrac{\upsilon_0}{2R}$?

Да.

[lantza]

Спасибо.

[Munin]

Упражнение: найдите, что должно стоять справа при выборе какой-то ещё оси, и применении теоремы Штейнера.