Многоугольники, попарно имеющие общую сторону

[Ktina]

Доказать, что на плоскости нельзя расположить больше четырёх выпуклых многоугольников так, чтобы каждые два из них имели общую сторону.

[TOTAL]

Ktina в сообщении #980138 писал(а):

Доказать, что на плоскости нельзя расположить больше четырёх выпуклых многоугольников так, чтобы каждые два из них имели общую сторону.

Можно хоть сто: треугольник, который в четырехугольнике и т.д.

[Aritaborian]

Думаю, что многоугольники всё-таки должны иметь лишь общие стороны, но не находиться друг в друге.

[atlakatl]

Для размышлений.

[grizzly]

atlakatl
У Вас левый многоугольник с нижним не имеет общей стороны (и правый тоже).

[atlakatl]

grizzly в сообщении #980236 писал(а):

левый многоугольник с нижним не имеет общей стороны (и правый тоже).

Да, надо расширить нижний прямоугольник в обе стороны.
А без полного контакта по всей стороне - как на картинке - у задачи есть другое решение? - Например, пять многоугольников?

[ИСН]

Граф тетраэдра можно разложить на плоскости, например. А если 5 - - -

[Skeptic]

Берёте бесконечную линейку многоугольников, соприкасающихся одной стороной, например, квадраты. Сворачиваете эту линейку в кольцо, соответсвенно подправив углы.

[grizzly]

Skeptic
По условию любые 2 должны иметь общую сторону. Доказать будет проще, чем придумать контрпример.

[ewert]

grizzly в сообщении #980236 писал(а):

atlakatl
У Вас левый многоугольник с нижним не имеет общей стороны (и правый тоже).

И центральный тоже.

[atlakatl]

grizzly, ewert, решительно не понимаю, как составить комбинацию с целиком общими сторонами четырёх многоугольников.
Кто-нибудь, просветите...

[venco]

Чуть-чуть подправьте ваш рисунок. Каждая "тройная" точка должна быть вершиной всех многоугольников, встречающихся в ней. Соответственно, надо эти точки чуть подвинуть, чтобы многоугольники оставались выпукыми.
Ну и в конце можно выкинуть лишние внешние вершины. У минимальной конфигурации внешняя граница - треугольник.

[atlakatl]

venco, спасибо

[ex-math]

В условии же больше четырех, а вы все четыре рисуете.

[Skeptic]

grizzly в сообщении #980263 писал(а):

Skeptic
По условию любые 2 должны иметь общую сторону. Доказать будет проще, чем придумать контрпример.

grizzly, вы не поняли моё сообщение.
А этот простейший случай вас устроит? На плоскость нанесена сетка из шестиугольников. Соседние шестиугольники имеют только общую сторону.