Найти норму линейного оператора в L2[-1,1]

[mev12]

Доброго времени суток, коллеги.
Обращаюсь с таким вопросом. Необходимо найти норму линейного оператора $A: L_2[-1,1]\to L_2[-1,1]$

$$(Ax)(t)=\int_{-1}^1 (1+ts)x(s)ds.$$

Есть верхняя оценка. Обозначим $y(t)=(Ax)(t)=\int_{-1}^1 (1+ts)x(s)ds.$

$$|y(t)|^2=(\int_{-1}^1 (1+ts)x(s)ds)^2\leqslant ||x||^2\int_{-1}^1(1+ts)^2ds=(2+\frac{2}{3}t^2)||x||^2,$$

$$||y||^2=\int_{-1}^1 |y(t)|^2 dt=||x||^2\int_{-1}^1 (2+\frac{2}{3}t^2) dt=\frac{40}{9}||x||^2,$$

$$||y||\leqslant \frac{\sqrt{40}}{3}||x||, \Rightarrow ||A||\leqslant \frac{\sqrt{40}}{3}.$$

Это грубая оценка. Известно, что норма оператора равна 2. Как улучшить оценку и довести ее до 2? Буду признательна за любые комментарии.
С уважением.

[Vince Diesel]

Можно посчитать степени $A^n$.

[ewert]

Это -- оператор конечного ранга (собственно, ранга 2): $Ax=1(1,x)+t(t,x)$. А поскольку обе функции ещё и ортогональны друг дружке, всё совсем уж облегчается.

[demolishka]

Применяйте неравенство Коши-Буняковского к $\int\limits_{-1}^{1}f(s)g(s)ds$, где $f(s)=\sqrt{(1+ts)}$ и $g(s)=\sqrt{(1+ts)}x(s).$

[mev12]

demolishka в сообщении #978900 писал(а):

Применяйте неравенство Коши-Буняковского к $\int\limits_{-1}^{1}f(s)g(s)ds$, где $f(s)=\sqrt{(1+ts)}$ и $g(s)=\sqrt{(1+ts)}x(s).$

По-моему, ничего хорошего из этого не получится

$$|y(t)|^2=(\int_{-1}^1 \sqrt{1+ts}[\sqrt{1+ts}x(s)ds])^2=\int_{-1}^1 (1+ts)ds\cdot \int_{-1}^1 (1+ts)x^2(s)ds$$

Первый интеграл равен 2, а что делать со вторым интегралом?

ewert в сообщении #978891 писал(а):

Это -- оператор конечного ранга (собственно, ранга 2): $Ax=1(1,x)+t(t,x)$. А поскольку обе функции ещё и ортогональны друг дружке, всё совсем уж облегчается.

Да, согласна с Вами. И как использовать данный факт для нахождения нормы?

[Red_Herring]

Разумеется, совет ewert даёт самый простой и точный метод. Норма достигается на функциях вида $u(t)=\alpha +\beta t$. При этом оператор переводит $1$ во что? А $t$ во что? Какова же матрица оператора в этом базисе?

[ewert]

mev12 в сообщении #978966 писал(а):

И как использовать данный факт для нахождения нормы?

Как вообще использовать? -- Вычислить оператор $A^*A$ (он будет того же ранга), найти его матрицу в ортонормированном базисе образа и затем её собственные числа. Это если в лоб, а здесь и этого не нужно: оператор уже симметричен и уже диагонализован, так что достаточно выписать оба ненулевых собственных числа.

[mev12]

Максимальное собственное число 2. Вот и норма)) Спасибо за помощь!

[demolishka]

Цитата:

что делать со вторым интегралом?

Применить теорему Фубини. После интегрирования разумеется.

[ewert]

demolishka в сообщении #979165 писал(а):

Применить теорему Фубини. После интегрирования разумеется.

После интегрирования теорему Фубини применять уже поздно (это не считая того, что она ничего и не даст).

[demolishka]

После интегрирования по $t$ неравенства

mev12 в сообщении #978966 писал(а):

$$|y(t)|^2=(\int_{-1}^1 \sqrt{1+ts}\sqrt{1+ts}x(s)ds)^2 \leq \int_{-1}^1 (1+ts)ds\cdot \int_{-1}^1 (1+ts)x^2(s)ds$$

Применяем теорему Фубини и получается оценка $\|Ax\|^2 \leq 4 \|x\|$, то что и хотел mev12.

[ewert]

Да, не исключено, что это пройдёт (не проверял, ибо это факирство).