Двойной интеграл

[Nurzery[Rhymes]]

Задание 3921 из Демидовича. Дана область - параболический сегмент, ограниченный кривыми $y=x^2$ и $y=1$. Расставить пределы интегрирования.

Сделал чертеж - прямая отрезает от параболы симметричный относительно $Oy$ сегмент.

Точки пересечения $y=x^2$ с $y=1$ такие: $\pm 1$

Поэтому $x$ изменяется от $-1$ до $1$.

Далее, $y$ изменяется от $0$ до $x^2$, поэтому интеграл можно свести к повторным так:

$\int\limits_{-1}^{1}dx \int\limits_{0}^{x^2}f(x,y)dy$

Где я ошибся? Сверяюсь с китайским антидемидовичем, там ответ такой:

$\int\limits_{-1}^{1}dx \int\limits_{x^2}^{1}f(x,y)dy = \int\limits_{0}^{1}dy \int\limits_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}}f(x,y)dx$

Чертеж:

(Оффтоп)

[provincialka]

В китайском верно. А в чем проблема? У фигуры две границы, уравнения их известны. Откуда там 0?

-- 15.02.2015, 21:07 --

Nurzery[Rhymes] в сообщении #978842 писал(а):

Далее, $y$ изменяется от $0$ до $x^2$,

Нет, не так.

[ИСН]

Если бытие ограничено сущностями $y=x^2$ и $y=1$, то логично предположить, что $y$ меняется где-то между $x^2$ и 1. Откуда тут может взяться $-3$ или любое другое число?

[Nurzery[Rhymes]]

Кажется, я понял свою ошибку. Я посмотрел на ось $Oy$ и увидел, что фигура находится между 0 и 1. Но $y$ же изменяется по закону $y=x^2$, поэтому нижнее значение $y=x^2$, а верхнее - 1. Так?

-- 15.02.2015, 22:15 --

А где доступно, но строго, объясняется теория двойных интегралов? Зорич слишком сложный, там в самом начале раздела дается уже теория меры.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #978858 писал(а):

Так?

provincialka в сообщении #978854 писал(а):

В китайском верно.

[Nurzery[Rhymes]]

Меня сейчас интересует не верность/неверность решения, а верность или неверность моих рассуждений, которыми я к этому пришел. Не совсем понимаю, как в общем случае искать пределы изменения $y$, когда это сразу не очевидно.

[provincialka]

Есть как минимум два способа. Можно смотреть по рисунку. Можно писать неравенства. Но с неравенствами сложнее. На рисунке сразу видно, между чем и чем лежит область.

[Nurzery[Rhymes]]

А можете привести пример неравенства к этой задаче? Вот я смотрю на рисунок и вижу, что там $y$ находится в пределах от 0 до 1. А почему оказывается, что он лежит в пределах от $x^2$ до 1?

[ИСН]

Потому что, видите ли,

Nurzery[Rhymes] в сообщении #978842 писал(а):

ограниченный кривыми $y=x^2$

...

Nurzery[Rhymes] в сообщении #978842 писал(а):

и

(барабанная дробь)

Nurzery[Rhymes] в сообщении #978842 писал(а):

$y=1$

[provincialka]

Значения $y$ при каждом $x$ разные, свои. Иначе чем бы парабола отличалась от прямоугольника?

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #978878 писал(а):

Значения $y$ при каждом $x$ разные, свои. Иначе чем бы парабола отличалась от прямоугольника?

Спасибо, вы показали, что я был прав. Я так себе это объяснял сначала, а потом стал думать совсем не в том направлении.

[provincialka]

Nurzery[Rhymes]
Верьте себе (и учебникам).

(Оффтоп)

Когда вы вежливый, общаться с вами гораздо приятней