Интегральный синус с логарифмическим довеском

[bayak]

Спасибо, g______d. Но вот что меня смущает. Если мне надо вычислить несобственный интеграл

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(y+\ln y)}{y}dy,$$

то у меня получается

$$\frac{e^{-\pi/2}}{2}\int_{0}^{\infty}t^{i-1}e^{-t}dt - \frac{e^{-\pi/2}}{2}\int_{0}^{\infty}t^{-i-1}e^{-t}dt,$$

но я не могу это записать как $\frac{e^{-\pi/2}}{2}[\Gamma (i)-\Gamma (-i)],$ поскольку $\operatorname{Re}(i)=\operatorname{Re}(-i)=0$. Наверное такие же проблемы будут и с использованием неполной гамма-функции.

[ewert]

bayak в сообщении #975953 писал(а):

то у меня получается

$$\frac{e^{-\pi/2}}{2}\int_{0}^{\infty}t^{i-1}e^{-t}dt - \frac{e^{-\pi/2}}{2}\int_{0}^{\infty}t^{-i-1}e^{-t}dt,$$

но я не могу это записать как $\frac{e^{-\pi/2}}{2}[\Gamma (i)-\Gamma (-i)],$ поскольку $\operatorname{Re}(i)=\operatorname{Re}(-i)=0$.

Во-первых, Вы потеряли множитель $i$.

bayak в сообщении #975953 писал(а):

Наверное такие же проблемы будут и с использованием неполной гамма-функции.

Во-вторых, с неполной гамма-функцией никаких проблем не будет, т.к. она вообще не появится: разворачивать безнаказанно можно только полные лучи.

[g______d]

ewert в сообщении #975987 писал(а):

она вообще не появится: разворачивать безнаказанно можно только полные лучи.

Я имел в виду $\gamma$, а не $\Gamma$, хотя и написал $\Gamma$.

[bayak]

ewert в сообщении #975987 писал(а):

Во-первых, Вы потеряли множитель $i$.

Это я потом заметил.

ewert в сообщении #975987 писал(а):

bayak в сообщении #975953 писал(а):

Наверное такие же проблемы будут и с использованием неполной гамма-функции.

Во-вторых, с неполной гамма-функцией никаких проблем не будет, т.к. она вообще не появится: разворачивать безнаказанно можно только полные лучи.

А это я даже не понял

[ex-math]

bayak
В нуле Ваш интеграл расходится.

[bayak]

bayak в сообщении #975997 писал(а):

А это я даже не понял

А, понял. Значит и в несобственном интеграле нельзя было делать замену аля виков поворот.

-- Пн фев 09, 2015 23:40:41 --

ex-math в сообщении #976030 писал(а):

В нуле Ваш интеграл расходится.

Подправим:

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(y+1+\ln (y + 1))}{y + 1}dy$$

[bayak]

bayak в сообщении #976032 писал(а):

ex-math в сообщении #976030 писал(а):

В нуле Ваш интеграл расходится.

Подправим:

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(y+1+\ln (y + 1))}{y + 1}dy$$

Глупость, конечно, сказал. Если уж править интеграл, то так:

$$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin(y+\ln (y + 1))}{y}dy$$