Репьюнит как сумма последовательных квадратов

[Ktina]

Замечательное свойство обнаружилось у числа 1111.
Оказывается, его можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел.
А именно,

$$1111=\sum\limits_{n=11}^{16} n^2$$

Снова случайность, как тогда?
Хотелось бы найти хотя бы ещё один такой репьюнит.
Точнее, хотя бы ещё два таких репьюнита, ведь число 1 также удовлетворяет условию.

[maxal]

Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 167.

[Ktina]

maxal
Если не секрет, почему именно 167?

[maxal]

У числа $10^{168}-1$ очень много (а именно, $3\cdot 2^{29}$) делителей - долго перебираются.

[Ktina]

Ну так что, записываем в открытые проблемы или как?

[Aritaborian]

Ktina, вас хлебом не корми, а дай придумать замороченную задачку и объявить её «открытой проблемой». Таких «открытых проблем» можно по десятку в день выдумывать.

[Ktina]

Aritaborian
Вы правы, но не в данном случае, мне кажется. Хотя и я на объективность не претендую.

-- 04.02.2015, 10:50 --

Согласитесь, что если будет доказано, что других таких репьюнитов нет, мимо этого факта трудновато будет пройти равнодушно.

[grizzly]

(Оффтоп)

На мой взгляд, Ktina генерирует и снабжает форум интересными задачками нормального уровня. Или я не так понял и речь выше шла о желании, чтоб была такая же Ktina, но "с перламутровыми пуговицами"? :)

[maxal]

maxal в сообщении #973114 писал(а):

Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 167.

Проверил все длины вплоть до включительно 179.

[Ktina]

maxal в сообщении #973558 писал(а):

maxal в сообщении #973114 писал(а):

Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 167.

Проверил все длины вплоть до включительно 179.

Мне очень стыдно, но я даже вообразить не могу, как такое можно проверить. Если так, как я думаю, то сложность у алгоритма будет экспоненциальная.

[levtsn]

"совпадение? не думаю"

[Deggial]

levtsn, строгое предупреждение за бессодержательное сообщение

[Aritaborian]

maxal, а вы не надорвётесь рассказать нам, как вы это проверяли? C++? PARI/GP? Mathematica? (Сам хотел было накорябать что-нибудь в Mathematica, но лень, как обычно, победила.)

[arseniiv]

Ktina, а почему всегда основание 10? Есть много других прекрасных систем счисления — например, симметричная пятеричная.

-- Чт фев 05, 2015 06:02:31 --

(Симметричная — потому что цифры $\bar2,\bar1,0,1,2.$)

[nnosipov]

Ktina в сообщении #973606 писал(а):

Мне очень стыдно, но я даже вообразить не могу, как такое можно проверить.

Вот здесь maxal уже намекнул:

maxal в сообщении #973352 писал(а):

У числа $10^{168}-1$ очень много (а именно, $3\cdot 2^{29}$) делителей - долго перебираются.

Факторизация репьюнитов с не очень большим числом единиц известна, осталось написать формулу для суммы $d$ последовательных квадратов. Будет видно, что $d$ нужно искать среди делителей репьюнита. Отсюда и перебор делителей. (Во всяком случае, это первое, что приходит на ум.)