Флуд из http://dxdy.ru/topic92961.html

[TR63]

Отделено из этой темы

rightways в сообщении #968767 писал(а):

Вот это уравнение легкое но решается долго.

$7y^2=x^4+x$

в целых числах.

Это уравнение можно обобщить так:
$x^4+x-Q(y_1,y_2,...,y_n)=0$,
где свободный член является функцией, принимающей натуральные значения при целых аргументах. Требуется решить в целых числах.
Эта задача решается очень легко и кратко, если применить формулу (или теорему) Орландо, имеющую отношение к теории устойчивости многочленов (лучше брать упрощённую формулировку). Кстати, задачи, предложенные выше rightways и ещё ряд других, тоже можно решить с помощью этого метода легко и кратко на элементарном школьном уровне.

[Deggial]

TR63 в сообщении #971929 писал(а):

rightways в сообщении #968767 писал(а):

Вот это уравнение легкое но решается долго.

$7y^2=x^4+x$

в целых числах.

Это уравнение можно обобщить так:
$x^4+x-Q(y_1,y_2,...,y_n)=0$,
где свободный член является функцией, принимающей натуральные значения при целых аргументах. Требуется решить в целых числах.
Эта задача решается очень легко и кратко, если применить формулу (или теорему) Орландо, имеющую отношение к теории устойчивости многочленов (лучше брать упрощённую формулировку). Кстати, задачи, предложенные выше rightways и ещё ряд других, тоже можно решить с помощью этого метода легко и кратко на элементарном школьном уровне.

TR63, приведите полное рассуждение без пробелов, решающее указанное уравнение. В противном случае сообщение будет отделено в Карантин, а Вы получите предупреждение за использование голословных аргументов и тезисов. И дайте ссылку на теорему Орландо тоже.

[TR63]

1).$x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0$

2).$a_4=\frac{a_3(a_1a_2-a_3)}{a_1^2}$
Теорема Орландо есть в монографии Гантмахера. Суть её в следующем: для того, чтобы многочлен (пока ограничемся четвёртой степенью) имел симметричные корни, необходимо и достаточно выполнения условия (2) (смотри выше).
Учитывая, что уравнение

TR63 в сообщении #971929 писал(а):

$x^4+x-Q(y_1,y_2,...,y_n)=0$

имеет два комплексных корня, сделаем замену переменных
$x=\alpha+i\beta$, $t=x-\alpha$, $x=t+\alpha$
$t^4+4t^3\alpha+6t^2\alpha^2+(4\alpha^3+1)t+(\alpha^4+\alpha-Q)=0$
$\alpha^4+\alpha-Q=\frac{(4\alpha^3+1)(20\alpha^3-1)}{16\alpha^2}$
Получили противоречие. Значит, нетривиальные решения отсутствуют.
Самые мелкие детали подробно не расписывала. Если ошибок нет, то метод можно будет применить к другим уравнениям.

[Deggial]

TR63 в сообщении #971995 писал(а):

Учитывая, что уравнение

TR63 в сообщении #971929 писал(а):

$x^4+x-Q(y_1,y_2,...,y_n)=0$

имеет два комплексных корня

Это неверно: уравнение $x^4+x=7y^2$ имеет несчётное количество комплексных корней, а именно $(u, i\frac{-u-u^4}{7})$ для любого действительного $0<u<1$. Так что все последующие выводы неверны.

TR63 в сообщении #971995 писал(а):

Получили противоречие. Значит, нетривиальные решения отсутствуют.

А это неверно просто потому, что уравнение $x^4+x=7y^2$ имеет как минимум 2 решения $(0,0);(-1;0)$.

[TR63]

Deggial в сообщении #972040 писал(а):

Это неверно: уравнение $x^4+x=7y^2$ имеет счётное количество комплексных корней

Предполагалось, что существует нетривиальное решение. Т.е. в данном уравнении (y) имеет фиксированное значение, а (x) является переменной величиной. Пара (x;y) тривиальна, если хотя бы один из элементов равен нулю. Так что комплексных корней ровно два, учитывая количество перемен знака.

Deggial в сообщении #972040 писал(а):

А это неверно просто потому, что уравнение $x^4+x=7y^2$ имеет как минимум 2 решения $(0,0);(-1;0)$

Чтобы это утверждение не было голословным, приведите в качестве контрпримера нетривиальное решение.

[vmg]

$(-4;6)$

[TR63]

vmg, спасибо за конструктивный контрпример. Как говорится, практика-критерий истины. Интересно, в чём тогда ошибка? Могу предположить следующее:
1). Арифметическая.
2). Ошибочная формула (очень сомневаюсь).
3). Нельзя делать замену переменных (почему? не понимаю).
4). ?
Если кто знает ответ, прошу разъяснить. При арифметической ошибке дело поправимо, если не в этой задаче, то можно сконструировать ряд других задач.

[TR63]

TR63 в сообщении #971929 писал(а):

$x^4+x-Q(y_1,y_2,...,y_n)=0$,
где свободный член является функцией, принимающей натуральные значения при целых аргументах. Требуется решить в целых числах.

Предложенный контрпример не относится к области определения рассматриваемого уравнения(правая часть не входит в область определения). Этот контрпример относится к уравнению

rightways в сообщении #968767 писал(а):

Вот это уравнение легкое но решается долго.

$7y^2=x^4+x$

в целых числах.

.
Так что претензии пока не по адресу. Хотя было бы интересно расследовать причину неудачности сделанного им обобщения.

-- 01.02.2015, 14:38 --

Замечание. В решении учитывалось, что ноль не является натуральным числом.

[Deggial]

TR63 в сообщении #972054 писал(а):

Deggial в сообщении #972040 писал(а):

Это неверно: уравнение $x^4+x=7y^2$ имеет несчётное количество комплексных корней

Предполагалось, что существует нетривиальное решение. Т.е. в данном уравнении (y) имеет фиксированное значение, а (x) является переменной величиной. Пара (x;y) тривиальна, если хотя бы один из элементов равен нулю. Так что комплексных корней ровно два, учитывая количество перемен знака.

TR63, предупреждение за враньё и неоформление формул $\TeX$ом. Контрутверждение Вашему вранью приведено в цитате.

TR63 в сообщении #972054 писал(а):

Deggial в сообщении #972040 писал(а):

А это неверно просто потому, что уравнение $x^4+x=7y^2$ имеет как минимум 2 решения $(0,0);(-1;0)$

Предполагалось, что существует нетривиальное решение....Чтобы это утверждение не было голословным, приведите в качестве контрпримера нетривиальное решение.

Не предполагалось: Вы ничего не говорили о нетривиальных решениях в своём посте. Кроме того:

vmg в сообщении #972067 писал(а):

$(-4;6)$

Вы значит уравнение вообще не пытались решать, да?

TR63 в сообщении #972161 писал(а):

vmg, спасибо за конструктивный контрпример. Как говорится, практика-критерий истины. Интересно, в чём тогда ошибка? Могу предположить следующее:
1). Арифметическая.
2). Ошибочная формула (очень сомневаюсь).
3). Нельзя делать замену переменных (почему? не понимаю).
4). ?
Если кто знает ответ, прошу разъяснить. При арифметической ошибке дело поправимо, если не в этой задаче, то можно сконструировать ряд других задач

Ввиду ошибочности и бессмысленности Вашего сообщения и наличие вранья оно отделяется в Чулан