Как составить уравнение, если известно множество решений?

[timber]

Пусть даны 2 уравнения $a(x,y)=0$ и $b(x,y)=0$. Обозначим через $A$ и $B$ множества их решений. Как составить одно уравнение с множеством решений $A \cup B$?

Помогите, пожалуйста.

[provincialka]

Очень трудно помочь. Потому что решением является одно предложение, а приводить его полностью нельзя по правилам форума.

[ewert]

Встречный вопрос. Как решить уравнение $(x^2+4x+3)(x^2-2x+1)=0$?...

[timber]

Решение мне известно.

$a(x,y)\cdot b(x,y)= 0$

Только почему перемножаются множества?

[Aritaborian]

Не множества, а левые части уравнений. Множества же решений — объединяются.

[timber]

Aritaborian в сообщении #969357 писал(а):

Не множества, а левые части уравнений. Множества же решений — объединяются.

Ну, да. Почему объединение (суммирование) множеств решений равносильно произведению уравнений?

[nnosipov]

timber, когда произведение двух чисел равно нулю?

[Aritaborian]

Потому что если $xy=0$, то или $x=0$, или $y=0$, или и то и другое.
И соответственно если $a \in A \cup B$, то или $a \in A$, или $a \in B$, или и то и другое.

[timber]

Aritaborian в сообщении #969368 писал(а):

Потому что если $xy=0$, то или $x=0$, или $y=0$, или и то и другое.
И соответственно если $a \in A \cup B$, то или $a \in A$, или $a \in B$, или и то и другое.

Спасибо, вроде так понятно.

[Brukvalub]

timber в сообщении #969361 писал(а):

Aritaborian в сообщении #969357 писал(а):

Не множества, а левые части уравнений. Множества же решений — объединяются.

Ну, да. Почему объединение (суммирование) множеств решений равносильно произведению уравнений?

Не слушайте их! они хотят вас запутать! Произведение уравнений далеко не всегда равносильно их совокупности! Они не знают про ОДЗ, а я - знаю! Им двойку поставят, а нам с вами - нет!

[timber]

Правильно, что если составить одно уравнение с множеством решений $A\setminus B$, то будет $\frac{a(x,y)}{b(x, y)}=0$?

[provincialka]

Нет, если учесть замечание об ОДЗ.
Например, $a( x, y) = x^2-1, b(x , y) =\sqrt{x}(x-1)$.

[timber]

Тогда я не понимаю или не знаю каким образом определять уравнение с заданным множеством решений. Ну можно составить квадратное уравнение зная его 2 корня по теореме Виета. Здесь же дано неопределенное множество решений, вернее операция над множествами. Подскажите, пожалуйста.

[provincialka]

Если ограничиться многочленами, то замечания про ОДЗ можно снять, так как многочлен существует на всей прямой. Можно умножать левые части.

Единственный недостаток -- число корней многочлена конечно.

А вам как надо решить задачу: в общем виде или для конкретных $a, b$? Или конкретных $A, B$?

[timber]

Нужно в общем виде и для того и для другого.