2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Зорич, стр. 85, задача 4
Сообщение19.01.2015, 14:08 
Аватара пользователя


01/12/06
504
Кишинёв
Вот эта задача:
Цитата:
4. Покажите, что если в качестве аксиомы полноты множества действительных чисел взять
a) принцип Больцано-Вейерштрасса
или
b) принцип Бореля-Лебега,
то получится равносильная прежней система аксиом $\mathbb{R}.$
Указание. Из a) следует принцип Архимеда и аксиома полноты в прежней форме.
c) Замена аксиомы полноты принципом Коши-Кантора приводит к системе аксиом, которая становится равносильной исходной, если кроме принципа Коши-Кантора постулировать также принцип Архимеда (см. задачу 21 предыдущего параграфа).

У Зорича эти принципы доказаны по такой цепочке: аксиома полноты ---> п. Коши-Кантора ---> п. Бореля-Лебега ---> п. Больцано-Вейерштрасса. Но тогда для решения с) не нужно постулировать принцип Архимеда, потому что, как указано, и принцип Архимеда, и аксиома полноты вытекают из п. Больцано-Вейерштрасса. Не понимаю, что даёт мне указание. Мне понятно, что нужно просто вывести аксиому полноты из п. Больцано-Вейерштрасса. Как Вы думаете? (Из задачи 21 я понял, что принцип Архимеда нельзя доказать без аксиомы полноты.)

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич, стр. 85, задача 4
Сообщение26.01.2015, 22:59 


04/08/14
21
Нужно внимательнее рассмотреть доказательства принципа Больцано-Вейерштрасса и леммы Бореля-Леьега. В них, кроме Коши-Кантора могли неявно использоваться другие утверждения, относящиеся к полноте. Если из Бореля-Лебега честно без полноты доказан Больцано-Вейерштрасс то да, пункт b сведён к a. Но вот в импликацию " п. Коши-Кантора ---> п. Больцано-Вейерштрасса." в неархимедовом поле я лично не верю по следующей причине. Если есть неархимедово поле с выполеным принципом Коши, то из последовательности $1, 2, 3, 4, ...$, которая содержится в некотором отрезке, ведь поле неархимедово, нельзя выделить сходящейся подпоследовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич, стр. 85, задача 4
Сообщение27.01.2015, 08:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1597
Москва
stef
Почему нельзя выделить? По $p$-адической норме можно, к примеру. В неархимедовом поле ведь и сходимость другая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич, стр. 85, задача 4
Сообщение27.01.2015, 09:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1235
ex-math
$p$-адические числа не являются линейно упорядоченным полем, о том, чтобы выкидывать аксиомы порядка Зорич ничего не говорил. А в любом линейно упорядоченном поле сходимость почти всегда понимается как сходимость в топологии, индуцированной порядком.

-- 27.01.2015, 08:51 --

stef в сообщении #968905 писал(а):
в неархимедовом поле я лично не верю по следующей причине. Если есть неархимедово поле с выполеным принципом Коши, то из последовательности $1, 2, 3, 4, ...$, которая содержится в некотором отрезке, ведь поле неархимедово, нельзя выделить сходящейся подпоследовательности.

Совсем уж конкретный пример: ряды Лорана, хотя их полнота по фильтру Коши довольно нетривиальный факт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич, стр. 85, задача 4
Сообщение27.01.2015, 10:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1597
Москва
kp9r4d
Да, Вы правы.
Кстати, взаимное следование разных принципов полноты хорошо разобрано у Камынина.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич, стр. 85, задача 4
Сообщение27.01.2015, 10:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1235
Вот ещё статья хорошая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич, стр. 85, задача 4
Сообщение27.01.2015, 10:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


24/02/12
1597
Москва
Еще к моему предыдущему сообщению: для доказательства того, что построенная с помощью вложенных отрезков точка будет точной верхней гранью, нужно, чтобы длины отрезков с ростом номера становились сколь угодно малыми. Вот здесь-то и применяется по существу принцип Архимеда.

UPD: Длина отрезка на $n$-ой итерации деления $(b-a)/2^n$. Она должна быть меньше любого заданного $\varepsilon>0$ для достаточного большого $n$, т.е. $2^n>(b-a)/\varepsilon$. Существование такого $n$ и обеспечивается принципом Архимеда.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group