Явное нарушение симметрии. Псевдо-бозон Голдстоуна

[anatoliy_kiev]

Решаю задачу нахождения массы псевдо-бозона Голдстоуна в теории комплексного скалярного поля $\varphi$ с лагранжианом:

$\mathcal{L} = \partial_{\mu} \varphi^{*} \partial^{\mu} \varphi - V(\varphi),$
где
$V(\varphi) = \mu^2 \varphi^{*} \varphi + \frac{\lambda}{4} (\varphi^{*} \varphi)^2 + \delta V$,

где $\mu^2<0$, $\lambda>0$ (т.е. $U(1)$ спонтанно нарушена) и $\delta V = \varepsilon (\varphi^{*} + \varphi)$; $\varepsilon$ - малый параметр, явно нарушающий симметрию.

Пытаюсь для начала найти вакуум. Производя замену $\varphi = \frac{1}{\sqrt{2}} (\varphi_1 + i \varphi_2)$, получаю следующие условия экстремума $V(\varphi)$:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \mu^2 \varphi_1 + \lambda \varphi_1 (\varphi_1^2 + \varphi_2^2) + \varepsilon =0, \\ \mu^2 \varphi_2 + \lambda \varphi_2 (\varphi_1^2 + \varphi_2^2)= 0. \\ \end{array} \right.$$

Здесь туплю. Как найти решения этой системы в первом приближении по $\varepsilon$? Дальше ведь дело техники, раскладываем по Тейлору в окрестности минимума и интерпретируем соответствующие массовые (квадратичные по полю) члены в Лагранжиане.

[Munin]

Подсказка: достаточно очевидно, что $\varphi_2=0.$

-- 27.01.2015 02:10:37 --

Кстати, и саму эту задачу здесь решали, правда, не называя такими словами, как "псевдо-бозон". Можно поискать старую тему.

[anatoliy_kiev]

Munin, спасибо. До меня только через час постоянного втыкания в эту систему дошло

Munin в сообщении #969002 писал(а):

Кстати, и саму эту задачу здесь решали, правда, не называя такими словами, как "псевдо-бозон". Можно поискать старую тему.

ну, это вроде стандартная терминология. Читаю Langacker, The standard model and beyond, глава 7. А не подскажите как тему найти? Как они это называли?

[warlock66613]

anatoliy_kiev в сообщении #969005 писал(а):

ну, это вроде стандартная терминология

Таки по-русски это (наверно) будет псевдоголдстоуновский бозон, а не псевдо-бозон.

[anatoliy_kiev]

warlock66613 в сообщении #969008 писал(а):

Таки по-русски это (наверно) будет псевдоголдстоуновский бозон, а не псевдо-бозон.

ну тогда уже псевдо-намбу-голдстоуновский бозон

[Cos(x-pi/2)]

anatoliy_kiev

И тогда уж коэффициенты в первом уравнении своей системы поправьте: с вашей нормировкой получается $\lambda/4$ и $\sqrt{2} \varepsilon.$

(Можно также пробовать замену типа $\varphi=\rho e^{i\alpha},$ где $\rho$ неотрицательное; тогда минимум по $\alpha$ очевиден, так как он возникает только от члена с $\varepsilon.$)

[anatoliy_kiev]

Cos(x-pi/2) коэффициенты в системе уравнений я, конечно, опустил (нету возможности поправить первое сообщение). Спасибо, что внимательно читаете.

Cos(x-pi/2) в сообщении #969014 писал(а):

Можно также пробовать замену

да, это еще одно стандартное переобозначение полей. Кстати, при таком переобозначении еще придется сделать перенормировку поля под знаком экспоненты, чтобы записать Лагранжиан в каноническом виде.

[Munin]

anatoliy_kiev в сообщении #969005 писал(а):

А не подскажите как тему найти? Как они это называли?

«Ленты вокруг мексиканской шляпы» :-)

[anatoliy_kiev]

Munin, спасибо. Рубаков задания составлял?

Если кто захочет проверить, у меня получилось что бозон "поправился" на $m_{\pi}^2 = -\dfrac{\lambda v \varepsilon}{2^{3/2} \mu^2}$, где $v = \sqrt{-4\mu^2/\lambda}$.

[Munin]

anatoliy_kiev в сообщении #969240 писал(а):

Рубаков задания составлял? :-)

Да, там ссылка в конце.