Вопрос про корреляцию

[MestnyBomzh]

Дана CВ $\xi$, распределенная равномерно на $(-1;3)$. И дана СВ $\eta = 4-3 \xi$. Нужно найти ковариационную матрицу для случайного вектора $(\xi, \eta)$.
Находим дисперсии: $D \xi = \frac{4}{3}, D \eta = 12$. Формула для ковариации: $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} (x - E\xi)(y-E\eta)f(x,y) dx dy$. Мат ожидания тоже легко найти: $E \xi = 1, E \eta = 1$. Однако непонятно откуда взять $f(x,y)$. Отдельно функцию $f_{\xi} (x)$ мы знаем, $f_{\eta} (x)$ можно найти, а как найти $f(x,y)$ подскажите. Или есть, быть может, проще метод?

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #965731 писал(а):

а как найти $f(x,y)$ подскажите.

Не надо её искать (тем более что её и нет). Используйте общее (т.е. не зависящее от типа случайной величины) определение ковариационной матрицы.

[MestnyBomzh]

Я использую такое определение ковариационной матрицы. Здесь нет никаких указаний на тип СВ.

$$\begin{pmatrix} D \xi& cov(\xi, \eta) \\ cov(\xi, \eta) & D \eta \end{pmatrix}$$

А Вы, видимо, не ее имеете в виду?

[ewert]

Ну я имел в виду определение ковариации, входящей в эту матрицу.

[provincialka]

Хм... Ведь корреляция -- мера линейной зависимости.

[Brukvalub]

В этой статье есть все необходимые формулы.

[ewert]

provincialka в сообщении #965746 писал(а):

Ведь корреляция -- мера линейной зависимости.

Это правда, но это лирика. А если б в задаче подразумевалась ссылка на соответствующее точное утверждение, то и задачи бы не было. Хотя если это какой-нибудь несчастный тест, то всё может быть.

[MestnyBomzh]

Возможно, Вы имеете в виду: $cov(\xi, \eta) = E \xi \eta - E \xi E \eta$. Но я пока что не представляю как искать $E \xi \eta$

[provincialka]

А вы подставьте выражение для $\eta$

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #965752 писал(а):

Но я пока что не представляю как искать $E \xi \eta$

Тупо: подставив в этот момент явное выражение $\eta$ $\xi$.

Но, между прочим, та формула, которую Вы написали -- это не определение ковариации, а некая теоремка. Использовать же здесь выгоднее именно исходное определение. Но можно и так, просто мучений будет несколько больше.

[MestnyBomzh]

аааа, ну да: $cov(\xi, \eta) = 4E \xi - 3 E \xi^2-1$

-- 20.01.2015, 20:50 --

ewert
А вы имели в виду: $cov (\xi, \eta) = M[(\xi-1)(\eta - 1)]$? Но тут же все равно вылезет $M[\xi \eta]$

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #965759 писал(а):

$cov(\xi, \eta) = 4E \xi - 3 E \xi^2$

ну вот видите, теперь Вам отсюда ещё и дисперсию надо вытягивать. Не бином Ньютона, конечно; только зачем?...

-- Вт янв 20, 2015 20:53:24 --

MestnyBomzh в сообщении #965759 писал(а):

А вы имели в виду: $cov (\xi, \eta) = M[(\xi-1)(\eta - 1)]$? Но тут же все равно вылезет $M[\xi \eta]$

Ничего не вылезет, просто не надо раскрывать скобки: при выражении второго сомножителя через кси этот сомножитель автоматически окажется тоже центрированным.

[MestnyBomzh]

Окей, получим: $-3M[(\xi-1)^2]$. Но здесь тоже нужно же вытаскивать дисперсию

[provincialka]

А чем отличаются дисперсии $\xi$ и $\xi-1$?

[ewert]

MestnyBomzh в сообщении #965784 писал(а):

Окей, получим: $-3M[(\xi-1)^2]$. Но здесь тоже нужно же вытаскивать дисперсию

А это по определению ровно она и есть, только чуть-чуть умноженная.