Свойства степенных рядов

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961497 писал(а):

Тогда причем здесь это?

provincialka в сообщении #961433 писал(а):

Это полезная теорема, когда надо исследовать поведение ряда на конце области сходимости.

Так это про другую теорему было сказано. Помните, когда вначале у вас область сходимости включала концы?
Вы переделали исходный пост и все запуталось. Посмотрите лучше учебник, там все четко.

[ИСН]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961491 писал(а):

Цель этой теоремы в том, чтобы показать, что равномерную сходимость на концах интервала надо доказывать отдельно, потому что (...)?

Вы второй раз упоминаете равномерную сходимость в каких-то точках, а этого не нужно. Нет ведь такого понятия. Нет равномерной сходимости на концах интервала. Нет её в нуле. Нет её ни в какой точке, так же как нету там фиолетовости или няшности. Не определено такое понятие, вообще. Определено другое понятие. Оно не в точке. В точке оно не.
Рекомендую сравнить это с другими понятиями (непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость). Некоторые из них определены в точке, а некоторые иначе.

[ewert]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #961508 писал(а):

Вы второй раз упоминаете равномерную сходимость в каких-то точках, а этого не нужно.

Это ненужная придирка. ТС явно имел в виду равномерную сходимость в (односторонних) окрестностях этих точек. Т.е. пытался иметь в виду, как мог; но чем он-то виноват, когда на него навалилось столько умных людей со своими советами?...

Это, знаете ли, как на Красной площади.

[Otta]

(Оффтоп)

Наверное, есть смысл, что имел в виду ТС, спрашивать у ТС. Один раз мы уже это проверили только в этой ветке.

[demolishka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961481 писал(а):

Не понимал, зачем усложнять доказательство, если очевидно, что если ряд равномерно сходится на интервале $(-R;R)$, то он равномерно сходится и на любом отрезке $[-R+\varepsilon; R-\delta]$. Но там вообще не говорится, что на $(-R; R)$ сходимость равномерная. Там просто сходимость.

Вот именно, что нет никакой равномерной сходимости на $(-R;R)$

Nurzery[Rhymes] в сообщении #961491 писал(а):

Цель этой теоремы в том, чтобы показать, что равномерную сходимость на концах интервала надо доказывать отдельно, потому что внутри интервала сходимости ряд гарантированно сходится равномерно?

Поэтому цель этой теоремы в том, что на $(-R;R)$ равномерной сходимости нет, а на любых подотрезках она есть.

[Otta]

demolishka в сообщении #961780 писал(а):

Вот именно, что нет никакой равномерной сходимости на $(-R;R)$

demolishka в сообщении #961780 писал(а):

Поэтому цель этой теоремы в том, что на $(-R;R)$ равномерной сходимости нет,

Вернее сказать, ее никто не обещает.
Может, и есть (и иногда действительно случается). Но вообще говоря - не обязана быть.