Свойства степеней УФ для различных оснований счисления

[lasta]

Существуют числа при делении на которые степеней с основаниями меньшими чем эти числа, получатся разные остатки. Например, для кубов это простые числа:2, 3, 5, 11,17,23,29,41,47,53,59,71,83…Есть предположение, что для чисел больших $5$ это свойство имеют все простые числа вида $6k-1$. Тогда этим свойством обладают и произведение двух неравных чисел этого вида. Например: $6,10,15,…$. Приведем числовой пример. Остатки ряда кубов $1^3;2^3; 3^3;4^3; 5^3; 6^3; 7^3; 8^3; 9^3;10^3$ для делителя $11$ соответственно имеют значения $1;8;5;9;4;7;2;6;3;10;$, а для делителя $33$, ряд из 32 кубов для этого делителя, имеет также не повторяющиеся остатки $1;8;27;31;26;18;13;17;3; 10;11;12;19;5;9;4;29;24;28;14;21;22;23;30;16;20;15;7;2;6;25;32;$ Далее понятно, что вторая степень $b^p$ из УФ при целых числах должна удовлетворять условию $b^p \geqslant (a+1)^p -a^p $, следовательно,

$$b^p>pa^{p-1}\qquad\eqno(1)$$

Степень $a^p$ в системе счисления с основанием равным основанию степени имеет вид $10^p_a$. Где индекс $a$ обозначает основание системы счисления. Тогда любая другая степень $b^p$ при условии $b^p<a^p$ в этой системе счисления будет иметь одноразрядное основание (одной из цтфр этой системы счисления). Тогда с учетом (1) в системе счисления с основанием $a$ степень $b^p$ является $p$-разрядным числом. А сумма двух степеней будет иметь вид

$$a^p +b^p=10^p_a+[b^p_a]=1[b^p_a],$$

где квадратные скобки означают, что внутри скобок находятся значения разрядов указанного числа. То есть

$$10^p_a+b^p_a =1\makebox{\underbrace{000…0}_{p}}_a + \makebox{\underbrace {[\alpha\beta\gamma...}_{p}]_a} =1 \makebox{\underbrace {[\alpha\beta\gamma...} _{p}}]_a \qquad \eqno(2)$$

Например, для суммы кубов

$$6^3+5^3=10^3_6+5^3_6=1000_6+325_6=1325_6$$

Как видно, правая часть (2), отличается от $b^p_a$ только старшим разрядом равным $1$.
На основании этого делаем вывод. Если в уравнении Ферма имеется хотя бы одна степень с основанием $a$, которое являясь делителем ряда $1^p,2^p,3^p …(a-1)^p $ не дает равных остатков, то для таких $a$ ВТФ верна. Докажем сначала для кубов Действительно, правая часть (2) не может быть кубом, так как в этом случае основание этого куба,в связи неповторяемости остатков, равнялось бы сумме оснований $a+b$, что невозможно при натуральных значениях $a,b$. Дальнейшее рассуждение по данной теме можно продолжить

[ananova]

lasta в сообщении #959876 писал(а):

Дальнейшее рассуждение по данной теме можно продолжить

Выбираем основание 11. Функция Эйлера числа 11 равна 10 и взаимно проста степени 3.
Далее вспоминаем доказательство, что ВТФ верна для тройки Ферма $x, y, z$, если хоть одно из чисел тройки имеет функцию Эйлера взаимно-простую с показателем степени.

[lasta]

ananova в сообщении #960167 писал(а):

Выбираем основание 11. Функция Эйлера числа 11 равна 10 и взаимно проста степени 3.
Далее вспоминаем доказательство, что ВТФ верна для тройки Ферма $x, y, z$, если хоть одно из чисел тройки имеет функцию Эйлера взаимно-простую с показателем степени.

Уважаемый ananova!
Спасибо за участие. К Вашему сообщению хочу добавить следующее. Функция Эйлера охватывает все взаимно простые числа с некоторым числом большим этих чисел. При этом не важно повторяются или не повторяются остатки при делении этих чисел на это число. Путем деления простых чисел на две группы (дающими соответственно повторяющиеся и не повторяющиеся остатки, при делении ряда степеней с основаниями меньшими этих чисел) можно найти новые противоречия для доказательства ВТФ. Так например, для кубов вследствие Малой теоремы Ферма числа $7; 13$ являются множителями в тройке $xyz$ и поэтому можно доказать, что при делении на числа $6k+1$ (например,$7;13;19;31;37;43;61;73;79….$) ряда кубов с основаниями меньшими данного числа некоторые остатки будут повторяться. То есть все простые числа можно разбить на числа $6k-1; 6k+1$ и исследовать их свойства в системе счисления с разными основаниями

[ananova]

lasta в сообщении #960435 писал(а):

Так например, для кубов вследствие Малой теоремы Ферма числа $7; 13$ являются множителями в тройке $xyz$ и поэтому можно доказать, что при делении на числа $6k+1$ (например,$7;13;19;31;37;43;61;73;79….$) ряда кубов с основаниями меньшими данного числа некоторые остатки будут повторяться. То есть все простые числа можно разбить на числа $6k-1; 6k+1$ и исследовать их свойства в системе счисления с разными основаниями

Подтерждаю Ваше замечание и добавлю, что перечисленные Вами числа $7;13;19;31;37;43;61;73;79….$ имеют функцию Эйлера, которая делится на $3$ (именно для них надо доказывать справедливость ВТФ). Остатки имеют свойство повторения и это самое сложное в выбранном Вами методе доказательства. Далее эти числа можно разделить на 2 группы. Если в первой группе противоречие найти не сложно с помощью подхода Лежандра и чисел близких Софи Жермен, то для второй группы противоречия получить не так уж просто. (Я не знаю как это сделать.)
В первую группу из Вашего списка чисел можно внести $7;13;19;37;43;….$ , для них - ни один из возможных остатков в степени 3 не может иметь значение равное 3. Однако, при использовании чисел $31, 61$ существуют остатки, которые в степени 3 могут принимать значения равное 3. Их можно включить вторую группу.

[lasta]

ananova в сообщении #960476 писал(а):

Остатки имеют свойство повторения и это самое сложное в выбранном Вами методе доказательства.

Уважаемый ananova!
Все правильно. Задача сложная. Да и к случаю с повторяющимися остатками относятся не только числа $6k+1$, но и их произведения с любым числом. Кроме того, повторяющиеся остатки дают и произведения $u^kq^k$ чисел вида $6k-1$ при $k>1$. Поэтому есть попытка дополнительно применить другие противоречия в УФ , например, с использованием периодических дробей, которые являются поистине удивительными числами. Так дробь $10/13= 0.(769230)$ А эта же дробь в кубе имеет период с 1014 цифрами после запятой. А знакомое число $19$ дает еще большие значения периода. Кроме того, пытаюсь использовать прежние наработки.

[lasta]

lasta в сообщении #961100 писал(а):

дают и произведения $u^kq^k$ чисел вида $6k-1$ при $k>1$

Правильно: дают произведения $u^mq^n$ чисел вида $6k-1$ при $m>1;n>1$

[vladimirmir2012]

Так как topic об "Свойства степеней ...", то добавлю свои 5 копеек.

Написал скриптик и проверил, что для четных степеней $x$ и $y$ не могут быть одновременно нечетными,
так как $z^n$ не делится нацело на $2^n$.

Из message

vasili в сообщении #959617 писал(а):

vladimirmir 2012! Вы показали сравнение по модулю 10 чисел натурального возведенных в 1-5 степень.
Первым моим занятием по ВТФ было составление таблицы степеней натуральных чисел по модулю 100.
И действительно для четных степеней одно из чисел должно быть сравнимо с числом 25 по модулю 100.
Таблицу удалось составить быстро, так как степени 2, 22, 42,....., (20К + 2) имели одни и те же вычеты по модулю 100.

следует /если я правильно понял/, что остатки от деления на 100 циклически /через какое-то число степеней/ повторяются.
Так вот если проверить, что среди этих остатков нет тех, которые для четных степеней $z^n$ делятся нацело на $2^n$, то
будет ли это доказательством моего утверждения /понимаю что это дилетантски и не научно .../?

[lasta]

vladimirmir2012 в сообщении #962199 писал(а):

что среди этих остатков нет тех, которые для четных степеней $z^n$ делятся нацело на $2^n$,

Уважаемый vladimirmir2012!
При четной правой части УФ в его левой части на $2^n$ может делиться только сумма остатков.

[lasta]

Следует напомнить, что судить о четности по последней цифре числа справедливо только для систем счисления с четным основанием. Для нечетных оснований счисления, - число четное, если сумма всех цифр числа - четная и наоборот.

[ananova]

lasta в сообщении #962435 писал(а):

Следует напомнить, что судить о четности по последней цифре числа справедливо только для систем счисления с четным основанием. Для нечетных оснований счисления, - число четное, если сумма всех цифр числа - четная и наоборот.

Не уверен, что это так. Дайте ссылку на определение.
Также я не нашел в интернет термин, который Вы часто используете - "иррациональное основание". Тоже дайте ссылку. Хочу подучиться.

[vladimirmir2012]

vladimirmir2012 в сообщении #962199 писал(а):

следует /если я правильно понял/, что остатки от деления на 100 циклически /через какое-то число степеней/ повторяются.
Так вот если проверить, что среди этих остатков нет тех, которые для четных степеней $z^n$ делятся нацело на $2^n$, то
будет ли это доказательством моего утверждения /понимаю что это дилетантски и не научно .../?

Скорее всего это не правильный путь проверки.
Почему?
Так как из того что у $z^n$ несколько последних цифр делится нацело на $2^n$ вовсе не следует, что $z^n$ делится нацело на $2^n$.

Другой интересный вопрос?
Остатки от деления $z^n$ на 10 и 100 циклически повторяются.
Можно ли утверждать это для остатков при делении 1000, 10000 ...

[lasta]

ananova в сообщении #962468 писал(а):

Не уверен, что это так. Дайте ссылку на определение.
Также я не нашел в интернет термин, который Вы часто используете - "иррациональное основание". Тоже дайте ссылку.

Уважаемый ananova!
Ссылки нет. Но это легко доказать. В позиционной системе счисления, которая используется в данной теме, любое число выражается через сумму

$$a=\sum^n_0{k_ib^i}\qquad \eqno(3) $$

где $b$ -основание системы счисления. Если $b$ - нечетное, то $\sum^n_0{k_i}$, является количеством нечетных чисел в (3). А так как $k_i$ и есть цифры числа, то отсюда и сделан вывод для нечетных оснований системы счисления.
Спасибо за замечание по "иррациональному основанию". Конечно, правильно будет: - основание равное иррациональному числу.

[lasta]

Для рассмотрения применения периодических дробей несколько изменим первоначальный подход. ВТФ утверждает, что хотя бы одно из чисел $x,y,z$ решения УФ – иррациональное. То есть существует всего одна неизвестность. И эта неизвестность – тип одного из чисел решения. Пусть это будет

$$x=\sqrt[p]{C}\qquad\e(4)$$

В равенстве

$$A^p+B^p=C \qquad\e(5)$$

с натуральными и взаимно простыми числами $A,B,C$, число $C$ примем за основание системы счисления.Тогда

$$A^p_c+B_c^p=10_c\qquad\e(6)$$

В этом случае степени левой части (6) являются одноразрядными натуральными числами. Образуем периодическую дробь $N_c=1/A_c^p$.
Здесь следует помнить, что дробные числа при изменении основания счисления могут терять или приобретать свойство периодичности, но если $ A_с$ - взаимно простое число с основанием системы счисления, то $N_c$ является периодической дробью, не имеющей непериодической части.
Следствием этой теоремы при соотношении $B<A<C$ является справедливость ВТФ, если $1/A^p_C$, есть одноразрядная периодическая дробь. Действительно, так как $C<2A^p$, то дробь с одноразрядным периодом при вышеуказанных условиях может иметь место только при $C-A^p=1$. Что сразу доказывает, что $ x=\sqrt[p]{C}$ - иррациональное число. Интересно отметить, что в этом случае не существует решений и для квадратов.
Далее. Умножим все в (6) на $N_c$. Получим

$$ 1+ B^p_cN_c =10^p_cN_c\qquad\e(7)$$

Согласно (7) дробная часть правой части $10_c^pN_c$ равна дроби $B^p_cN_c$.
Итак, необходимо рассмотреть ВТФ для многоразрядного периода дробей. При этом следует показать, что решение для квадратов существует.

[lasta]

lasta в сообщении #968344 писал(а):

$$ 1+ B^p_cN_c =10^p_cN_c\qquad\e(7)$$

Согласно (7) дробная часть правой части $10_c^pN_c$ равна дроби $B^p_cN_c$.

Опечатки. Правильно:

$$ 1+ B^p_cN_c =10_cN_c\qquad\e(7)$$

Согласно (7) дробная часть правой части $10_cN_c$равна дроби $B^p_cN_c$