2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определить задает ли метрику функция
Сообщение09.01.2015, 16:18 
Аватара пользователя
Задание элементарное, но что-то застрял на последнем шаге.
$r(A,B)=\sqrt{\left\lvert x_{1}-x_{2}\right\rvert}+\sqrt{\left\lvert y_{1}-y_{2}\right\rvert}$
1) Функция определена для всех $(x,y)$, обращается в ноль только при равенстве точек, всюду положительна - первая аксиома выполняется.
2) Очевидно, выполняется.
3) рассмотрим точку $z=(z_{x},z_{y})$, тогда
$\sqrt{\left\lvert x_{1}-z_{x}\right\rvert}+\sqrt{\left\lvert y_{1}-z_{y}\right\rvert}+\sqrt{\left\lvert z_{x}-x_{2}\right\rvert}+\sqrt{\left\lvert z_{y}-y_{2}\right\rvert}\ge \sqrt{\left\lvert x_{1}-x_{2}\right\rvert}+\sqrt{\left\lvert y_{1}-y_{2}\right\rvert}$
И вот здесь застрял, неужели придется обе части в квадрат возводить, ведь это совсем не камельфо, хочется верить что есть более элегантный способ доказательства. Да и к тому же не пройдет, быстрей всего, потому что корни никуда не денутся и к модулю суммы не перейдешь. Посоветуйте, пожалуйста, в каком направлении мыслить!

 
 
 
 Re: Оперделить задает ли метрику функция
Сообщение09.01.2015, 16:23 
Аватара пользователя

(трудное слово)

Bacon в сообщении #959134 писал(а):
камельфо
кОмИльфо

Функция распадается на два аналогичных слагаемых: отдельно для $x$, отдельно для $y$. Вот и проверяйте для одного.

 
 
 
 Re: Оперделить задает ли метрику функция
Сообщение09.01.2015, 17:06 
Аватара пользователя
А еще корень - выпуклая вверх функция.

 
 
 
 Re: Оперделить задает ли метрику функция
Сообщение09.01.2015, 17:13 
Аватара пользователя
provincialka
Как все просто, спасибо большое, снова выручили.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group