Частные производные

[Sicker]

fronnya
fronnya
$d(x^{\frac{y}{z}})={x^{\frac{y}{z}}\lnx}\cdot{d(\frac{y}{z})}+dx\cdot\frac{y}{z}\cdot x^{\frac{y}{z}-1}=\frac{y}{z}\cdot x^{\frac{y}{z}-1}\cdot dx +\frac{1}{z} \ln{x}\cdot x^{\frac{y}{z}}\cdot dy -\frac{y}{z^2} \ln{x}x^{\frac{y}{z}}\cdot dz$

-- 07.01.2015, 21:28 --

второй дифференциал взять сможете?

[fronnya]

Sicker в сообщении #958272 писал(а):

fronnya
fronnya
$d(x^{\frac{y}{z}})={x^{\frac{y}{z}}lnx}\cdot{d(\frac{y}{z})}+dx\cdot\frac{y}{z}\cdot x^{\frac{y}{z}-1}=\frac{y}{z}\cdot x^{\frac{y}{z}-1}\cdot dx +\frac{1}{z} lnx\cdot x^{\frac{y}{z}}\cdot dy -\frac{y}{z^2} lnxx^{\frac{y}{z}}\cdot dz$

Спасибо. И на всякий случай.

\ln{x}

-- 07.01.2015, 20:30 --

Sicker в сообщении #958272 писал(а):

второй дифференциал взять сможете?

Не. Я так понял, здесь этот способ не очень эффективен. Тут проще в лоб вычислить.

[maxmatem]

Sicker

(Оффтоп)

ТС достаточно туго делал в лоб, а Вы с таким огородом......

[Sicker]

fronnya в сообщении #958274 писал(а):

Спасибо. И на всякий случай.

и вам (а то я смотрю че то не так смотрится)

fronnya в сообщении #958274 писал(а):

Не. Я так понял, здесь этот способ не очень эффективен. Тут проще в лоб вычислить.

ну в принципе да

[fronnya]

Sicker в сообщении #958277 писал(а):

fronnya в сообщении #958274 писал(а):

Не. Я так понял, здесь этот способ не очень эффективен. Тут проще в лоб вычислить.

ну в принципе да

А я изначально на этом способе зациклился и запутался окончательно.

-- 07.01.2015, 20:38 --

Он выручает, но не в данном случае. Всем форумом меня спасали

[provincialka]

"Тот" способ подходит, когда в выражении есть только функции одной переменной и арифметические операции. Например, $u=\ln(1+xy)$, тогда $du = \frac{d(1+xy)}{1+xy}=\frac{ydx+xdy}{1+xy}$.
В вашем же примере присутствует функция от двух переменных, $u=a^b$, по каждой переменной производную надо брать отдельно.

Я бы в таком случае взяла логарифмическую производную. Но боюсь заикаться.

[fronnya]

provincialka в сообщении #958282 писал(а):

"Тот" способ подходит, когда в выражении есть только функции одной переменной и арифметические операции. Например, $u=\ln(1+xy)$, тогда $du = \frac{d(1+xy)}{1+xy}=\frac{ydx+xdy}{1+xy}$.
В вашем же примере присутствует функция от двух переменных, $u=a^b$, по каждой переменной производную надо брать отдельно.

Я бы в таком случае взяла логарифмическую производную. Но боюсь заикаться.

Спасибо. Логарифмическую могу брать.

[fronnya]

В продолжение, найду частные производные второго порядка:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\frac{y}{z}\left(\frac{y}{z}-1\right)x^{\frac{y}{z}-2}$$

$$\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}= \frac{1}{z^2}x^{\frac{y}{z}}\ln^2{x}$$

$$\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=x^{\frac{y}{z}}\ln{x}\frac{y}{z^2}\left(\frac{1}{z}-\ln{x}\right)$$

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial y}=\frac{1}{z}\left(x^{\frac{y}{z}-1}+\frac{y}{z}\ln{x}\right)$$

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x\partial z}=-\frac{y}{z^2}x^{\frac{y}{z}-1}\left(1-\ln{x}\right)$$

$$\frac{\partial^2 u}{\partial y\partial z}=-\frac{1}{z^2}x^{\frac{y}{z}}\ln{x}\left(1+\frac{\ln{x}}{z}\right)$$

[maxmatem]

fronnya

Цитата:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=x^{\frac{y}{z}}\ln{x}\frac{y}{z^2}\left(\frac{1}{z}-\ln{x}\right)$$

проверьте внимательно

[fronnya]

maxmatem в сообщении #958525 писал(а):

fronnya

Цитата:

$$\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=x^{\frac{y}{z}}\ln{x}\frac{y}{z^2}\left(\frac{1}{z}-\ln{x}\right)$$

проверьте внимательно

$$\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}=-\frac{y}{z^3}x^{\frac{y}{z}}\ln{x}+\frac{y^2}{z^4}x^{\frac{y}{z}}\ln^2{x}$$

[maxmatem]

fronnya
второе слогаемое верно, в первое знак посмотрите и двойки не хватает

[fronnya]

maxmatem в сообщении #958534 писал(а):

fronnya
второе слогаемое верно, в первое знак посмотрите и двойки не хватает

Да, там должен быть плюс, а двойка откуда?

[--mS--]

$\dfrac{d}{dz}\dfrac{1}{z^2}=?$

[fronnya]

--mS-- в сообщении #958547 писал(а):

$\dfrac{d}{dz}\dfrac{1}{z^2}=?$

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа, двойка.

[maxmatem]

fronnya

Цитата:

ааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааааа, двойка.

именно, такая оценка за кр по дифференцированию, если вы будете продолжать в подобной манере не проверять свои выкладки